Nüüd vaadelge maakondi, kus neeruvähi esinemissagedus on kõige kõrgem. Need tõbised maakonnad asuvad peamiselt hõredalt asustatud maapiirkondades USA Kesk-Lääne, Lõuna ja Lääne traditsiooniliselt vabariiklikes osariikides. Waineri ja Zwerlingi irooniline kommentaar: „On lihtne järeldada, et vähi kõrge esinemissagedus võib olla otseselt seotud maapiirkondade vaesusega – puudub juurdepääs heale arstiabile, toit on rasvane ning alkoholi ja tubakat tarbitakse liiga palju.” Muidugi on midagi valesti. Maaelu ei saa korraga seletada nii neeruvähi väga kõrget kui ka väga madalat esinemissagedust.
Peamine tegur ei ole see, et need piirkonnad asuvad maal või on ülekaalukalt vabariiklikud. Peategur on see, et nende maakondade rahvaarv on väike. Ja peamine õppetund sellest loost ei puuduta epidemioloogiat, vaid keerulist suhet meie mõtlemise ja statistika vahel. Süsteem 1 on väga osav ühes mõtlemise vormis – see tuvastab automaatselt ja pingutuseta põhjusliku seose sündmuste vahel, mõnikord isegi siis, kui seos on vale. Vähi kõrge esinemissagedusega maakondadest kuuldes eeldasite te automaatselt, et need maakonnad erinevad teistest maakondadest mingil põhjusel ning et peab olema põhjus, mis erinevust selgitab. Ent nagu näeme, on Süsteem 1 saamatu, seistes silmitsi „pelgalt statistiliste” faktidega, mis muudavad tulemuse tõenäosust, kuid ei põhjusta seda.
Juhuslik sündmus ei ole definitsiooni kohaselt seletatav, kuid juhuslike sündmuste kogum käitub vägagi korrapäraselt. Kujutlege suurt marmorkuulidega täidetud urni. Pooled kuulid on punased, pooled valged. Nüüd kujutlege üht väga kannatlikku inimest (või robotit), kes võtab urnist pimesi neli kuuli, loeb üle punaste kuulide arvu valimis, viskab kuulid tagasi urni ja teeb seda siis uuesti, veel palju kordi. Tulemusi kokku võttes selgub, et tulemus „kaks punast, kaks valget” esineb (peaaegu täpselt) kuus korda sagedamini kui tulemus „neli punast” või „neli valget”. See suhe on matemaatiline fakt. Võite ennustada korduvate valimite võtmist urnist niisama kindlalt nagu seda, mis juhtub, kui lööte haamriga muna. Te ei suuda ennustada iga detaili sellest, kuidas täpselt munakoor puruneb, kuid üldpildis võite olla veendunud. Kuid on ka erinevus: rahuldust pakkuv põhjuslikkuse tunne, mida kogete muna tabavale haamrile mõeldes, puudub täielikult, kui mõtlete kuulivalimitele.Vähinäidet aitab selgitada järgmine statistiline fakt. Kordamööda võtavad urnist kuule kaks väga kannatlikku kuulilugejat. Jack võtab iga kord neli, Jill seitse kuuli. Mõlemad panevad kirja iga korra, kui nad saavad homogeense valimi – kõik valged või punased kuulid. Kui nad piisavalt kaua katsetavad, tekib Jackil äärmuslikke tulemusi kaheksa korda sagedamini kui Jillil (oodatav protsent on 12,5 ja 1,58). Ei mingit haamrit ega põhjuslikkust, vaid matemaatiline fakt: neljast kuulist koosnev valim annab äärmusliku tulemuse sagedamini kui seitsmest kuulist koosnev valim.
Nüüd kujutlege USA rahvastikku marmorkuulidena hiiglaslikus urnis. Mõnel kuulil on tähed NV, neeruvähk. Te võtate näidiseid järgemööda iga maakonna kohta. Maapiirkondade valimid on teistest väiksemad. Samamoodi nagu Jacki ja Jilli mängus, on äärmuslikud tulemused (väga kõrge ja/või väga madal esinemissagedus) kõige tõenäolisemad hõredalt asustatud maakondades. Rohkem polegi midagi öelda.
Alustasime faktist, mis nõuab põhjust: neeruvähi esinemine kõigub maakonniti suurelt ja erinevused on süsteemsed. Minu pakutud selgitus on statistiline: äärmuslikud tulemused (nii kõrged kui ka madalad) esinevad tõenäolisemalt väikestes kui suurtes valimites. See seletus ei ole põhjuslik. Mõne maakonna väike rahvaarv ei põhjusta vähki ega hoia seda ära; see lihtsalt näitab vähi esinemissagedust palju kõrgema (või madalamana) kui suurema rahvaarvu korral. Sügavam tõde on, et siin polegi midagi selgitada. Vähi esinemissagedus ei ole väikese rahvaarvuga maakonnas tegelikult keskmisest madalam ega kõrgem, see lihtsalt tundub antud aastal nii juhuse tõttu. Kui kordame analüüsi järgmisel aastal, näeme samasugust äärmuslike tulemuste üldist mustrit väikestes valimites, kuid maakondades, kus vähk oli levinud eelmisel aastal, ei ole esinemissagedus sel aastal tingimata kõrge. Kui asi on nii, ei tule erinevused tiheda asustusega ja hõreda asustusega maakondade vahel tegelikult faktidena arvesse: teadlased nimetavad neid artefaktideks, vaatlustulemusteks, mis põhinevad täielikult mõnel uurimismeetodi tahul – antud juhul valimi suuruse erinevusel.
Minu lugu võis teid üllatada, kuid see polnud ilmutuslik. Olete juba ammu teadnud, et suuremate valimite tulemused väärivad rohkem usaldust kui väiksemate valimite omad ja isegi statistikas võhikud on kuulnud suurte arvude seadusest. Kuid „teadmine” pole jah/ei juhtum; võib-olla kehtivad teie puhul järgmised väited:
Iseloomustav joon „hõredalt asustatud” ei hakanud neeruvähi lugu lugedes teile kohe olulisena silma.
Erinevus neljase ja seitsmese valimi vahel tekitas teis vähemalt kerget üllatust.
Veel praegugi peate end pisut vaimselt pingutama, nägemaks et kaks järgmist väidet tähendavat täpselt üht ja sedasama.
* Suured valimid on täpsemad kui väikesed.
* Väikestes valimites esineb äärmuslikke tulemusi sagedamini kui suurtes.
Esimene väide tundub selgelt tõene, ent kuni teine variant ei tundu teile intuitiivselt loogiline, siis pole te esimesest täielikult aru saanud.
Tahan öelda seda: jah, te teadsite, et suurte valimite tulemused on täpsemad, kuid nüüd võite aru saada, et te ei teadnud seda kuigi hästi.
Te pole ainuke. Minu ja Amose esimene ühine uurimus näitas, et isegi kogenud teadlastel on valimite mõju suhtes kehv intuitsioon ja ebakindel arusaam.
Väikeste arvude seadus
Minu koostöö Amosega 1970. aastate algul algas aruteluga väite üle, mille kohaselt statistika-alase hariduseta inimestel on hea „statistikavaist”. Amos rääkis seminaril Michigani ülikooli teadlastest, kes suhtusid intuitiivsesse statistikasse üldiselt optimistlikult. Suhtusin väitesse kirglikult, kuna võtsin seda isiklikult: olin hiljuti avastanud, et minu statistikavaist ei ole kuigi hea ega uskunud, et võiksin olla teistest halvem.
Teadusega tegeleva psühholoogi jaoks ei ole valimite variatiivsus üllatuseks: see on tüütu ja kulukas takistus, mis teeb igast uurimisprojektist õnnemängu. Oletagem, et soovite kinnitada hüpoteesi, et keskmise kuueaastase tüdruku sõnavara on suurem kui samavanuse keskmise poisi oma. Üldkogumis vastab see hüpotees tõele: tüdrukute keskmine sõnavara on tõepoolest suurem. Kuid tüdrukud ja poisid on väga erinevad ning võib juhtuda, et just teie valimis on erinevus ebaveenev või saavutavad poisid koguni parema tulemuse. Teadlasele on säärane tulemus kulukas, sest olete raisanud aega ja vaeva, suutmata seejuures kinnitada hüpoteesi, mis on tegelikult õige. Ainus võimalus ohtu vähendada on kasutada piisavalt suurt valimit. Uurijad, kes kasutavad liiga väikest valimit, jätavad ennast saatuse hoolde.
Iga valimi vea riski on võimalik hinnata üsna lihtsa protseduuri abil. Kuid traditsiooniliselt ei kasuta psühholoogid valimi suuruse otsustamiseks arvutusi. Artikkel, mida lugesin veidi enne meie vaidlust Amosega, illustreeris viga, mida uurijad tegid (ja teevad praegugi), põneva tähelepaneku abil. Autor juhtis tähelepanu sellele, et psühholoogid kasutavad sageli nii väikseid valimeid, et risk, et nad ei suuda oma tõest hüpoteesi kinnitada, on 50 %! Ükski täie mõistuse juures olev teadlane ei läheks välja säärase riski peale. Tõenäoline seletus oli, et psühholoogide otsused valimi suuruse kohta peegeldasid üldist intuitiivset väärarvamust valimite varieerumise ulatuse kohta.
Artikkel vapustas mind, kuna seletas probleeme, mida olin ka ise uurimistöös kohanud. Nagu enamik psühholoogiauuringutega tegelejaid, olin minagi moodustanud pidevalt liiga väikseid valimeid ja saavutanud sageli tulemusi, millel puudus mõte. Nüüd teadsin, miks: veidrad tulemused olid tegelikult minu uurimismeetodi artefaktid. Minu viga oli iseäranis piinlik, sest ma õpetasin statistikat ja teadsin, kuidas