Следовательно, либо оба должны быть нечетными, либо один из них, но оба оказались четными из-за предположения. Таким образом, при допущении, что диагональ соизмерима со стороной, нечетные числа становятся равными четным, что невозможно.
В этом доказательстве силлогизм привел к тому, что нечетные числа равны четным, что ложно. А то, что диагональ несоизмерима со стороной, доказывается через предположение: ибо, приняв противоположное этому, через силлогизм было показано, что из этого следует нечто невозможное, и через опровержение предположения утверждается другое, так как одно из них должно быть истинным. Это и есть доказательство через противоречие.
И если даже в приведении к невозможному силлогизм, приводящий к ложному, является доказательным, то есть категорическим, и завершается через одну из трех фигур, то и силлогизмы через невозможное, будучи частью гипотетических, также относятся к этим трем фигурам.
Дополнение к р. 41a26
Ключевые понятия
– Несоизмеримость (ἀσύμμετρος) – отсутствие общей меры для диагонали и стороны.
– Доказательство через невозможное (ἀπαγωγὴ εἰς τὸ ἀδύνατον) – метод, при котором опровергается допущение, ведущее к противоречию.
– Силлогизм (συλλογισμός) – логическое умозаключение, где из двух посылок следует вывод.
Ход доказательства (р. 41a26)
1. Допущение (ὑπόθεσις): диагональ соизмерима со стороной (ἡ διαγώνιος σύμμετρος τῇ πλευρᾷ).
2. Следствие: тогда их отношение выражается отношением целых чисел (ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν).
3. Приведение к противоречию:
– Если взять наименьшие взаимно простые числа (πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους), их квадраты тоже взаимно просты.
– Но по теореме Пифагора, квадрат диагонали вдвое больше квадрата стороны ⇒ одно число должно быть и чётным, и нечётным (ἄρτιον ἴσον περισσῷ).
4. Вывод: допущение ложно ⇒ диагональ несоизмерима.
Логическая структура
– Гипотетический силлогизм:
– Если A (соизмеримость), то B (чётное = нечётному).
– Но B ложно ⇒ A ложно.
– Пример (схематично):
– Допустим, √2 = m/n (m, n взаимно просты).
– Тогда 2 = m²/n² ⇒ m² = 2n² ⇒ m² чётно ⇒ m чётно.
– Но тогда n² = m²/2 ⇒ n² чётно ⇒ n чётно.
– Противоречие: m и n не могут быть оба чётными, если они взаимно просты.
Заключение
Аристотель показывает, что доказательство через невозможное опирается на:
1. Опровержение допущения (ἔλεγχος).
2. Утверждение