Поскольку каждый из углов ΔΓ и BΔ является углом полукруга, они равны между собой. Ибо углы равных полукругов равны, так как они совмещаются друг с другом. Те же углы, которые отсекаются основанием треугольника и дугой окружности, равны между собой, поскольку они находятся в одном и том же сегменте. Ведь углы в одном и том же сегменте равны между собой, и вообще углы равных сегментов равны.
Следовательно, оставшиеся углы при основании, отсекаемые основанием и каждой из сторон треугольника, равны между собой. Ибо если от равных отнять равное, то остатки будут равны. А стороны треугольника, под которыми лежат равные углы, равны между собой, так как обе они проведены из центра.
Таким образом, у равнобедренных треугольников углы при основании равны между собой.
Если же кто-то, желая доказать это, возьмёт угол AΓ равным углу BΔ, не доказав заранее, что углы равных полукругов равны, то он будет принимать искомое в начале доказательства.
Или если он докажет это, то есть что целое равно целому, и возьмёт углы, отсекаемые дугой окружности и основанием треугольника, равными друг другу (Γ и Δ), отняв их от прямых углов полукругов, но не докажет заранее, что углы равных сегментов равны (ведь углы равных сегментов равны, потому что сегменты совмещаются друг с другом, как и полукруги, поэтому их углы равны; а общим сегментом двух полукругов, отсечённых диаметрами A и B, является сегмент под основанием треугольника; он, конечно, равен самому себе и совмещается, поскольку от каждого отнято нечто, как бы двойное; следовательно, его углы также равны между собой), – то если кто-то возьмёт углы в сегменте равными, не доказав, почему они равны, он снова будет принимать искомое в начале, а не доказывать его.
Или если он докажет и это, но возьмёт оставшийся угол равным углу Z, то и так он примет искомое в начале, но не докажет его, если не положит без доказательства то положение, что если от равных отнять равное, то остатки равны между собой.
Он говорит, что остатки от углов полукругов – это E и Z, так что целые углы полукругов – это AΓ и BΔ, отнятые от них углы сегмента – Γ и Δ, а оставшиеся от них – E и Z, которые содержатся между основанием и каждой из сторон и являются углами при основании, о которых сейчас нужно доказать, что они равны.
Тогда по необходимости он будет принимать искомое, если берёт без доказательства то, что требует доказательства. Ибо он будет постулировать, что у равнобедренного треугольника углы при основании равны, но не докажет этого.
Дополнение к p.41b14
Суть доказательства:
Аристотель доказывает равенство углов при основании равнобедренного треугольника (ἰσοσκελὲς τρίγωνον) через свойства круга (κύκλος) и его сегментов, избегая прямого использования постулатов Евклида.
Ключевые шаги:
1. Построение:
– Берётся