Figura E1.20
Solución: La Fig. E1.20.b muestra el diagrama de cuerpo libre de la barra con todas las fuerzas externas que actúan sobre ella. Las reacciones RC y RB son las “normales” (perpendiculares) a los planos de deslizamiento tangencial, y las fuerzas de roce FrB y FrC son por supuesto tangenciales, es decir perpendiculares a las normales, y de sentido opuesto al deslizamiento potencial. El peso de la barra actúa en su centro de gravedad (punto medio). El ángulo α es conocido pues tgα=l/2, o sea α=26,565º.
a) Las ecuaciones de equilibrio (Ecs. 1-48) son las siguientes:
La primera observación que procede hacer es que este sistema de 3 ecuaciones tiene 5 incógnitas: P y las 4 componentes de reacción, luego no puede resolverse. Incluso si la fuerza P fuera un dato conocido tampoco podrían calcularse las 4 reacciones incógnitas. Por ello, las condiciones a que se refiere la parte “b” del problema deberán aportar nuevas ecuaciones que permitan resolver el sistema de ecuaciones.
b) Caso de deslizamiento de la barra:
La condición de deslizamiento corresponde al caso límite de equilibrio, luego se cumple que:
dos ecuaciones adicionales que sumadas a las 3 anteriores permiten resolver para las 5 incógnitas antes mencionadas, obteniéndose: RB=-19,18 kg, FrB=-11,51 kg, RC=128,64 kg, FrC=77,18 kg, P=30,40 kg. Pero, la reacción RB no puede ser negativa, ya que el piso no podría ejercer una fuerza de ese sentido pues antes la barra se levantaría despegándose del piso en el punto B. Este es justamente el segundo caso que hay que analizar, ya que la situación de deslizamiento no ocurre.
c) Caso de levantamiento de la barra en B:
El diagrama de la Fig. E1.20.b sigue siendo válido con la modificación que RBy FrB no existen pues no hay contacto en B. O sea, se ha supuesto que se está justo iniciando el despegue del extremo B de la barra que se encuentra a una distancia ínfima del piso.
Las ecuaciones de equilibrio se obtienen de las mismas anteriores haciendo RB=0 y FrB=0. Se tiene entonces:
sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas de donde se obtienen P= 13,38 kg, RC=101,41 kg, y FrC=50,71 kg. Lo que indica que para P=13,38 se rompe el equilibrio por levantamiento del extremo B de la barra. Notar también que cuando esto ocurre FrC ≠μRC, como era de esperar, porque esta situación no tiene nada que ver con una condición límite de equilibrio por deslizamiento.
Ejemplo 1.21
Una escalera de 3 m de largo y peso 35 kg se apoya formando un ángulo de 60º como se muestra en la Fig. E1.21.a. La pared es lisa pero existe fricción con el suelo con coeficiente de roce μ. Se pide: a) Determinar las reacciones en el piso y en el muro cuando un hombre de 75 kg de peso sube hasta una distancia de 2 m medida desde el extremo inferior de la escalera; b) Determinar el coeficiente de roce μ necesario para que el hombre pueda llegar al extremo superior de la escalera.
Figura E1.21
Solución: La Fig. E1.21.b muestra el diagrama de cuerpo libre de la escalera. La reacción en B es perpendicular al muro por ser contacto liso. En la base A existe tanto reacción normal VA como componente tangencial de roce HA.
a) Las ecuaciones de equilibrio de fuerzas verticales, horizontales y momentos son respectivamente:
b) Considérese que cuando el hombre llega arriba se alcanza el estado límite de equilibrio. Las ecuaciones i e ii son las mismas anteriores. En la ecuación iii sólo se modifica la distancia d que ahora es 3 m, luego:
Notar como aumenta la fuerza de roce a medida que el hombre sube. En la condición límite de equilibrio el roce alcanza el valor máximo que puede desarrollar, o sea:
Naturalmente para este valor del coeficiente de roce la escalera estará “a punto de deslizar” cuando el hombre llegue al extremo superior. Si se desea evitar el riesgo de caída, debería haber un coeficiente de roce mayor que el valor mínimo necesario calculado. Sin embargo, puede pensarse que en una situación real también existirá rugosidad en el contacto con el muro, y la fuerza de roce correspondiente ayudará al equilibrio. Como ejercicio el lector puede rehacer el problema pero con fricción tanto en A como en B. Se dará cuenta que no puede resolver la parte “a”, ¿por qué?. Al resolver la parte “b” por cierto encontrará que el coeficiente de roce necesario es menor que el antes calculado.
Ejemplo 1.22
La Fig. E1.22.a muestra un tecle, que es un aparejo para levantar objetos de gran peso en forma manual. Típicamente el tecle se cuelga de un marco móvil que permite trasladarlo a distintos lugares en un taller; en la figura se muestra suspendido de un techo fijo. La parte superior del aparato se compone de dos poleas solidarias (unidas a un mismo eje) de radios diferentes. Una cadena sin fin pasa por las poleas, las que son dentadas para enganchar los eslabones de la cadena e impedir su deslizamiento. Al tirar el hombre de la cadena, las poleas superiores giran juntas, pero el punto A de la polea de radio mayor avanza más que el punto B de la de radio menor, lo que tiene por efecto que la polea C y la carga suban. Notar que el hombre tira hacia un lado de la cadena y el otro lado queda suelto. Si los radios de las poleas solidarias son r1=10 cm y r2=8 cm, determinar la fuerza que debe hacer el hombre para levantar un peso W=300 kg. Despreciar los pesos de la cadena y de las poleas.
Solución: Del diagrama de cuerpo libre de la polea C (Fig. E1.22.b), despreciando el peso de la polea, se tiene que las cadenas que la soportan realizan cada una fuerzas de W/2. Estas fuerzas se transmiten a la polea superior como se muestra en la Fig. E1.22.c. Hacia el lado de la cadena suelta, la fuerza es Q=0, ya que se está despreciando el peso de la cadena. La fuerza que realiza el hombre es F; nuevamente, despreciando el peso de la cadena, F actúa como se indica en la Fig. E1.22.c. Tomando momentos en tomo al punto O se tiene:
Figura E1.22.a
Notar que si r2 se aproxima a r1 la fuerza F se hace cada vez más pequeña. En particular si r2 =r1 resulta F=0, es decir el hombre no realizaría esfuerzo, pero el aparato sería inútil porque la carga no subiría aunque se dieran vueltas y vueltas a la cadena. Para los datos especificados en el enunciado se obtiene
Figura E1.22(continuación)
Ejemplo 1.23
Un cajón homogéneo de 150 kg de peso ha volcado apoyándose en otro cajón de 100 kg de peso. El coeficiente de fricción de los cajones con el suelo es μ=0,4. El contacto entre ambos cajones es liso. Determinar si el sistema está en equilibrio.