Las ecuaciones de equilibrio son muy simples, en efecto:
a) La fricción total H es la composición de las fuerzas tangenciales Hx y Hy, como muestra la Fig. E1.15.f. Como el triángulo OAB es rectángulo, se tiene:
Figura E1.15.f
b) En la condición límite de equilibrio la reacción tangencial total H alcanza la fricción máxima que puede desarrollarse Hmax = μN. Luego, utilizando la ecuación iii:
e introduciendo en la ecuación iv se tiene:
y el deslizamiento se iniciará en la dirección de esta fuerza:
Ejemplo 1.16
Determinar la fuerza X necesaria para sostener un peso de 1000 kg mediante una cuerda liviana que da dos vueltas completas a un tronco rugoso con coeficiente de fricción μ=0,5. ¿Qué fuerza soporta la rama del árbol?
Figura E1.16
Solución: Se supone que el peso está a punto de deslizar hacia abajo, es decir la fuerza X será la mínima necesaria para sostenerlo. Utilizando la Ec. 1-41 con T= 1000 kg, T0 =X y β=2·2π=4π radianes, se tiene:
La fuerza que soporta la rama es la diferencia 1000–X, es decir 998,1 kg.
Ejemplo 1.17
Un cuerpo de 100 kg de peso cuelga de una cuerda liviana que pasa por sobre un mesón y sostiene un peso W en su otro extremo. El coeficiente de roce entre la cuerda y la mesa es 0,4. Determinar el peso W para que el peso de 100 kg: a) no descienda, b) suba
Figura E1.17
Solución:
a) Se trata de aplicar el peso W mínimo posible para impedir el desplazamiento de la cuerda hacia la derecha, o sea, se supone que el sistema está a punto de deslizar hacia la derecha. Aplicando la Ec. 1-41 en la esquina B, donde se tiene un cambio de ángulo de la cuerda β = π/2 se tiene
En la zona horizontal del mesón no hay fricción porque no hay curvatura, luego en la esquina A Y=X, y aplicando nuevamente la Ec. 1-41:
b) Para la condición inversa se puede seguir un procedimiento análogo al anterior, sin embargo basta con darse cuenta que el cuociente entre las fuerzas en ambos extremos es ahora justamente el inverso. Luego, para que la cuerda se desplace hacia la izquierda se requiere aplicar
De ambos resultados puede concluirse que si 28,46≤W≤351,36 kg el sistema está en equilibrio.
1.8 Concepto de Momento
1.8.1 Introducción
Considérese el cuerpo de peso W de la Fig. 1.44 que descansa sobre un plano liso horizontal. Sobre el cuerpo actúan dos fuerzas F horizontales, paralelas, de igual magnitud, pero de sentido opuesto. En la dirección vertical z habrá equilibrio del cuerpo con una reacción vertical igual y contraria al peso W (R=W). Lo notable ocurre en la dirección y, pues también se cumple la ecuación de equilibrio
pero intuitivamente queda claro que, siendo el plano liso, el cuerpo no permanecerá en reposo sino tenderá a girar en el sentido de los punteros del reloj. Pareciera paradojal que cumpliéndose las ecuaciones de equilibrio éste no se logra, pero no lo es, la falacia está en considerar al cuerpo como partícula, lo que es ilegítimo porque las fuerzas aplicadas no son concurrentes.
Figura 1.44
Las conclusiones inmediatas son, primero, que el equilibrio de fuerzas no basta para garantizar el equilibrio de un cuerpo, y segundo, que el concepto mismo de fuerza es insuficiente para describir el estado de un cuerpo tridimensional como el bloque de la Fig. 1.44. Para completar la descripción del estado de cuerpos tridimensionales sometidos a sistemas generales de fuerzas, es necesario introducir el concepto de momento, lo que se hará en las secciones siguientes.
1.8.2 Momento de una Fuerza con Respecto a un Punto
Dada una fuerza F (magnitud, línea de acción, y sentido) y un punto cualquiera O, se define el momento de la fuerza con respecto al punto O como el producto de la fuerza por su distancia al punto O (Fig. 1.45).
Debe notarse que la línea de acción de la fuerza (recta cualquiera en el espacio) y el punto cualquiera O definen un plano. La distancia d del punto a la recta se mide en dicho plano como la longitud de la perpendicular desde O a la recta (d=OA).
Figura 1.45 Momento de una fuerza con respecto a un punto
1.8.3 Traslado de una Fuerza Fuera de su Línea de Acción
A las operaciones fundamentales con fuerzas descritas en la Sección 1.4 puede ahora agregarse una nueva y poderosa operación: Dada una fuerza F actuando en la línea de acción L1, ella puede trasladarse a una línea de acción paralela L2, incorporando el momento de la fuerza original con respecto a cualquier punto O de L2 (Fig. 1.46). Se dice entonces que el sistema inicial y el sistema final son estáticamente equivalentes, es decir, desde el punto de vista del equilibrio su efecto es idéntico:
Figura 1.46 Traslado de una fuerza a una nueva línea de acción
Notar que el punto O es arbitrario pues, donde quiera que se escoja sobre L2, el resultado es el mismo, ya que d es simplemente la distancia entre las dos rectas paralelas, es decir la longitud de la perpendicular a ambas rectas en el plano que ellas definen.
1.8.4 Pareja de Fuerzas y Propiedades del Momento
Se denomina pareja de fuerzas a dos fuerzas de igual magnitud, de líneas de acción paralelas, y sentido opuesto. Ejemplo de una pareja es la que actúa sobre el bloque de la Fig. 1.44. Para entender el efecto de una pareja considérese la de la Fig. 1.47.a. A continuación se aplica la operación descrita en la sección anterior, trasladando la fuerza en