1.54 La barra de la figura está sostenida por una articulación en B y por un cable en A. Encuentre: a) la tensión en el cable, b) las reacciones en B. (Respuesta: a) 2588, b) V=2157, H=2315)
1.55 Una rueda de radio 3r y peso W se encuentra sobre un plano inclinado rugoso y está sujeta por una cuerda enrollada a su eje de radio r (la cuerda de varias vueltas sobre el eje de modo que no puede deslizar sobre él), a) Si la rueda está en equilibrio, determinar la reacción del plano sobre ella y la tensión en la cuerda, b) Determinar el coeficiente de fricción mínimo requerido para que sea posible el equilibrio. (Respuesta: a) N=Wcosα, Fr=0,5Wsenα, T=3Fr; b) μ=0,5tgα)
II.
ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS
2.1 Equilibrio Global
2.1.1 Grados de Libertad y Vinculación
En muchos de los sistemas estudiados en el Capítulo anterior el equilibrio se lograba sólo para valores muy precisos de algunas fuerzas o para configuraciones geométricas específicas. Ello porque en su mayoría dichos sistemas estaban constituidos por cuerpos y superficies en condiciones de simple contacto, que pueden desbaratarse si se les somete a sistemas de fuerzas distintos. Por ejemplo, el sistema de la Fig. 1.32 dejaría de funcionar si sobre la barra AB se aplicara una fuerza que la hiciera levantarse de su apoyo en A.
Las estructuras en cambio, en general, tienen la cualidad de ser fijas, esto es, no pueden moverse cualesquiera sea el sistema de fuerzas que se les aplique. Como se recordará, en la Sección 1.3.2 se mencionaron diversos tipos de cargas que deben soportar las estructuras, entre otros: peso propio, cargas de uso, viento, nieve, sismo, y cambio de temperatura. En contraposición, se llamarán mecanismos los sistemas que tienen la posibilidad de adoptar distintas posiciones dependiendo de las cargas a que estén sometidos.
Al hablar de posibilidades de movimiento se entra al campo de la cinemática, que es la parte de la mecánica que estudia las características geométricas del movimiento sin relacionarlo con las causas que lo producen. La consideración de tales causas es naturalmente el campo de la dinámica.
El aspecto de la cinemática que interesa aquí son los grados de libertad de un sistema, los que se definen como las posibilidades de movimiento del sistema y que en número coinciden con el número de coordenadas necesarias para definir su posición en el espacio. Los tres conceptos mencionados están tan relacionados que prácticamente se confunden: la libertad se expresa en movimiento y éste, que corresponde a cambio de posición, se describe mediante coordenadas.
Un ejemplo sencillo es el de una partícula en el espacio. Sus posibilidades de movimiento son 3: puede desplazarse en dirección norte-sur (cambiar de latitud), en dirección este-oeste (cambiar de longitud), y en dirección vertical (cambiar de cota). Por cierto que de un punto a otro puede desplazarse en una trayectoria cualquiera que los una, pero ese desplazamiento siempre puede expresarse como un cambio de sus tres coordenadas: latitud, longitud, y cota. En vez de usar coordenadas geográficas, podría interesar la posición de la partícula al interior de una sala de clases; en tal caso como coordenadas de referencia puede escogerse un sistema de ejes x, y, z coincidente con un vértice y tres aristas de la sala (Fig. 2.1.a). La posición de la partícula P queda dada por sus coordenadas xp, yp y zp y sus posibilidades de movimiento son tres: cambiar de posición según x, según y, y según z. Se concluye que una partícula en el espacio tiene 3 grados de libertad.
La restricción de la libertad de movimiento se llama vinculación, la que se especifica imponiendo un vínculo. La vinculación puede ser de muy variada naturaleza, y los vínculos pueden materializarse mediante dispositivos físicos reales como se usarán en las estructuras reales, o simplemente mediante condiciones abstractas. Volviendo al ejemplo de la partícula en la sala de clases, supóngase ahora que se le impone la restricción de mantenerse sobre la pared definida por el plano yz en la Fig. 2.1.a. El establecimiento de un vínculo implica una pérdida de libertad, en efecto, el vínculo establece que xp≡0 y la partícula ahora sólo puede cambiar sus coordenadas ypy zp. Se concluye que la partícula en el plano tiene 2 grados de libertad. Es decir el vínculo impuesto le quitó un grado de libertad de los 3 que originalmente tenía en el espacio. En este caso el vínculo es de tipo abstracto, porque no se está detallando como se logra efectivamente que la partícula no abandone el plano. El lector puede imaginar formas físicas de hacerlo.
Una restricción más fuerte sobre la partícula de la Fig. 2.1 .a es obligarla a mantenerse sobre uno de los ejes coordenados, por ejemplo el eje y. En tal caso la vinculación establece que xp≡0 y zp≡0 que corresponden a 2 restricciones y por tanto la partícula queda con un grado de libertad solamente. Las condiciones de vinculación pueden ser de muy variada naturaleza; por ejemplo, la Fig. 2.1.b muestra una partícula obligada a mantenerse sobre un riel circular. Claramente la partícula tiene un sólo grado de libertad, pues basta la coordenada θ para definir la posición que tiene en el riel.
Figura 2.1 Grados de libertad de una partícula
Figura 2.2 Grados de libertad de un cuerpo rígido en el espacio
¿Cuántos grados de libertad tiene un cuerpo rígido en el espacio? Para responder esta pregunta el lector debe reflexionar acerca del número de coordenadas necesarias para definir su posición en el espacio, o bien, separada o conjuntamente, analizar qué posibilidades independientes tiene de moverse. De paso ha aparecido aquí un nuevo concepto, la independencia de los grados de libertad, que significa que cada grado de libertad puede variarse aisladamente sin alterar los restantes. Para imaginarse más fácilmente la situación de un cuerpo rígido en el espacio puede considerarse el caso de un avión. En el avión de la Fig. 2.2, que corresponde a uno de los modelos Airbus, se ha indicado un sistema de ejes con origen en O. Por cierto la posición geográfica del avión en vuelo puede especificarse por las coordenadas (latitud, longitud, altitud) del punto O, las que desde ya corresponden a 3 grados de libertad del aparato. Pero además, independientemente de las coordenadas del punto O, el aparato puede rotar con respecto a los tres ejes indicados, los que reciben nombres específicos conforme a las maniobras que realiza el avión. Las rotaciones con respecto a estos tres ejes corresponden a 3 grados de libertad más. En resumen, un cuerpo rígido en el espacio tiene 6 grados de libertad.
2.1.2 Dispositivos de Vinculación
En las secciones siguientes se analizarán distintas clases de estructuras, las que se fijarán al terreno, o sobre otras estructuras, mediante dispositivos estándar. Estos dispositivos, que establecen restricciones a los desplazamientos, se denominan vínculos o simplemente apoyos. Se usarán tres vínculos básicos llamados deslizante, rótula o articulación, y empotramiento, los que se describirán inicialmente en relación con su utilización en estructuras planas, aunque pueden extenderse al caso tridimensional. Siempre que se impone una restricción a un desplazamiento aparece una fuerza reactiva asociada al desplazamiento impedido (como se discutió en la Sección 1.3.2), de manera que en cada tipo de apoyo aparecerán tantas reacciones como desplazamientos se restrinjan.