i) Equilibrio del cajón 1
La Fig. E1.23.b muestra el diagrama de cuerpo libre del cajón 1. En el piso hay reacciones normal y de roce, no así en C donde el contacto es liso. Las ecuaciones de equilibrio de fuerzas son:
La ecuación de momentos conviene tomarla con respecto al punto A; para ello hay que calcular previamente la distancia “d” de la fuerza de 150 kg al punto A:
luego:
La máxima fuerza de roce que puede desarrollarse es Frmax =μNA=0,4·150=60 kg; como FrA<Frmax el cajón 1 está en equilibrio.
ii) Equilibrio del cajón 2
Este cuerpo podría perder el equilibrio de dos formas: por deslizamiento o por volcamiento. Para analizar el deslizamiento considérese la Fig. E1.23.c; las ecuaciones de equilibrio de fuerzas son:
La fuerza de fricción máxima que puede desarrollarse es Frmax=μN=0,4·100=40 kg; como Fr<Frmax el cajón 2 no desliza.
Para analizar el volcamiento considérese la Fig. E1.23.d. El volcamiento ocurrirá por giro en torno a la arista D del cajón, tendiendo éste a levantarse manteniendo contacto con el suelo solamente a través de la arista D. Por ello, las reacciones del piso deberán actuar justo en D. Las ecuaciones de equilibrio de fuerzas son las mismas anteriores. La ecuación de equilibrio de momentos en torno a D requeriría:
lo que no se cumple porque 1060,7≠1000, luego el cajón 2 vuelca. Entonces el cajón 1 tampoco está en equilibrio porque no puede afirmarse en el cajón 2.
Figura E1.23(continuación)
1.9 Ejercicios Propuestos
1.01 Localizar los centros de gravedad de los alambres delgados que se indican en la figura. (Respuesta: x*=-3b/34, y*=45b/272; x*=6,71 cm, y*=17,95 cm)
1.02 Hallar el centro de gravedad del área mostrada en la figura. (Respuesta: x*= 1,09 cm, y*=3 cm)
1.03 Encontrar el centro de gravedad de los 4 círculos de radio 1 cm ubicados como se indica. (Respuesta: x*=5 cm, y*=3 cm)
1.04 Encontrar el centro de gravedad de la superficie sombreada de la figura. (Respuesta: x*=4 cm, y*=4,55 cm)
1.05 Demuestre que el centro de gravedad de un área trapecial de bases a y b y altura h tiene una coordenada y* igual a
1.06 Encontrar el centro de gravedad del área de la figura achurada (usar centro de gravedad de un sector semicircular de Tabla V.2). (Respuesta: x*=17,88 cm, y*=38,47 cm)
1.07 Un disco de radio r1=50 cm y espesor unitario tiene cuatro agujeros como se muestra en la figura. Los centros de los agujeros están sobre una circunferencia de radio r2=30 cm formando ángulos de 60º. Determine el centro de gravedad del disco en el plano x, y. (Respuesta: x*=13 r 23/(625–r 23), y*=0 cm)
1.08 Encontrar el centro de gravedad del área de la figura achurada. (Respuesta: x*=8,4 cm, y*=4,7 cm)
1.09 Determinar el centro de gravedad de una placa circular de material homogéneo y espesor constante con una perforación triangular como se muestra. (Respuesta: x*=y*= -0,5074)
1.10 Determinar las coordenadas del centro de gravedad del cuerpo plano que se indica, el cual está dibujado a escala. Cada cm2 de área (achurada) pesa 15 gramos y cada cm de longitud de la barra AB pesa 5 gramos. (Respuesta: x*=3,95 cm, y*=6,62 cm)
1.11 Descomponga la fuerza de 800 kg en dos componentes a lo largo de las direcciones e1 y e2 indicadas. Use solución gráfica y compruebe analíticamente. (Respuesta: F1=771,58 kg, F2=601,99 kg)
1.12 Sobre una partícula actúa el sistema de fuerzas F1=800 kg, F2=600 kg, F3=1131,4 kg y F4= 1341,6 kg. Determinar la resultante del sistema e indicar cuáles son sus componentes en las direcciones x e y. Determinar las componentes de la resultante en un nuevo sistema de ejes x’ y’ correspondiente al sistema xy original girado en 45° en sentido trigonométrico positivo. Use solución gráfica y compruebe analíticamente. (Respuesta: Fx= -200 kg, Fy= -600 kg, Fx’= -565,69 kg, Fy’= -282,84 kg)
1.13 Sobre una partícula actúa el sistema de 5 fuerzas coplanares indicado. Se pide: a) determinar analíticamente su resultante, b) dibujar el polígono de fuerzas y su resultante. (Respuesta: R=57,77, α=265,7º)
1.14 Sea un sistema de fuerzas Fi que actúan en un plano vertical, formando ángulos αi medidos desde la dirección x horizontal, y aplicadas en los puntos Pi cuyas coordenadas se indican. Usando el polígono funicular determinar gráficamente la resultante e indicar el punto de coordenadas (x, 0) por donde pasa la línea de acción de la resultante.
1.15 Sobre un soporte fijo a la pared actúan las fuerzas F1=50, F2=80 y F3=90 formando ángulos α=31° y β=60°. Determine: a) la magnitud y dirección de la resultante R = {F1, F2, F3}, b) las componentes horizontal y vertical de R y dibújelas actuando sobre el soporte en sus sentidos positivos, c) las reacciones V y H de la pared sobre el soporte y dibújelas actuando sobre el soporte en sus sentidos positivos. (Respuesta: R=175,8, α=17,27°, RH=167,9, Rv =52,2)
1.16 Determinar la resultante del sistema de fuerzas paralelas dado: a) mediante solución geométrica utilizando polígono funicular, b) utilizando el concepto de centro de gravedad.