Figura 1.47 Pareja de fuerzas
Figura 1.48 Ejemplos de momentos puros
La acción de momento puro es muy usual y nuestros dedos la realizan con gran habilidad en múltiples ocasiones: para girar la perilla del volumen de una radio, para sacar o poner la tapa de un frasco, para retirar un tornillo suelto. También se utilizan herramientas especiales para ejercer momentos puros, como la llave sacabujías o la llave de cruz para soltar o apretar los pernos de las ruedas de un vehículo. La Fig. 1.48 muestra un par de estos ejemplos, en el caso de la tapa del frasco, los 5 dedos ejercen fuerzas tangenciales a ella, posiblemente de distintas magnitudes, las que sumadas tienen resultante nula, pero ejercen un momento puro para atornillar o desatornillar la tapa; notar que el efecto del momento es producir un giro en torno a un eje perpendicular a la tapa. Por su parte, el mecánico aplica fuerzas iguales y contrarias, que ejercen un momento puro neto sobre la tuerca; nuevamente una acción que produce un giro en torno al eje de la herramienta y al eje del perno.
Figura 1.49
Una propiedad fundamental de una pareja de fuerzas es que puede trasladarse a cualquier posición en el plano y su efecto, desde el punto de vista del equilibrio, es el mismo. En el ejemplo de la Fig. 1.47 se hizo ver que la pareja dada era equivalente a un momento puro en torno a cualquier punto de la recta L2. Tomando la misma pareja inicial (Fig. 1.49.a) se trasladarán ambas fuerzas, desde L1 y L2 respectivamente a una tercera línea de acción paralela L3, a distancia d’ de L2, y contenida en el plano de L1 y L2, es decir, en el plano de la pareja (Fig. 1.49.b). El traslado de F de L1 a L3 incorpora el momento M1=F(d + d’), y el traslado de F de L2 a L3 incorpora el momento M2=Fd’. En L3 las fuerzas F de sentido opuesto se cancelan, y los momentos se suman algebraicamente pues M2 tiene sentido contrario a M1, luego el momento puro resultante es:
Es decir, la pareja original es equivalente a un momento puro en L3 (Fig. 1.49.c). Obviamente la operación anterior puede hacerse a cualquier recta L3 contenida en el plano de la pareja original, es decir para cualquier valor de la distancia d’, y el resultado será el mismo: un momento puro M=Fd. Se concluye entonces que el efecto de una pareja de fuerzas es equivalente a un momento puro actuando en cualquier posición del plano de la pareja; esta propiedad se conoce como principio de transmisibilidad de una pareja de fuerzas. Es decir el momento equivalente a la pareja reside en cualquier parte del plano, así como una fuerza reside en cualquier parte de su línea de acción. Por otra parte, el valor invariante Fd corresponde a la magnitud de la pareja, lo que significa que la intensidad del momento puede variarse modificando la magnitud de la fuerza F, o la distancia d, o ambas. Finalmente, como ya se mencionó, un momento tiene también sentido (claramente al mover la perilla de la radio podemos hacerlo en uno u otro sentido). Típicamente, en el plano se utiliza con frecuencia la identificación del sentido de un momento como a favor de los punteros del reloj, o en el caso opuesto, en contra de los punteros del reloj.
En conclusión, el ente momento es similar al ente fuerza. Ambos tienen las propiedades de magnitud, dirección, y sentido, como se comparan en la Tabla 1.2.
Finalmente, cabe mencionar que el plano que alberga a un momento puede tener dirección cualquiera en el espacio y puede ser necesario expresar el momento en sus componentes según los ejes de un sistema de referencia tridimensional. Sin embargo, conforme a los objetivos de este texto y por simplicidad, aquí se trabajará casi exclusivamente con problemas planos que no requieren la representación vectorial de los momentos.
TABLA 1.2 Comparación de los entes Fuerza y Momento
1.8.5 Reducción de un Sistema General de Fuerzas. Caso Plano
Dado un sistema de fuerzas cualquiera en un plano, su reducción consiste en simplificarlo a una fuerza única R y a un momento único MO en torno a un punto arbitrario O previamente escogido, de modo que el sistema original y el sistema resultante son estáticamente equivalentes:
El procedimiento consiste en aplicar la operación descrita en la Sección 1.8.3 para todas las fuerzas dadas, trasladando cada una de ellas a una línea de acción que pasa por el punto O. Finalmente se tiene un conjunto de fuerzas concurrentes en O, para el cual se obtiene su resultante R, más el conjunto de momentos de cada una de las fuerzas en torno al punto O, cuya suma algebraica es el momento total MO. En general el sistema reducido será tal que R≠0 y MO≠0, sin embargo, en el caso de un sistema de fuerzas plano, el sistema resultante puede siempre transformarse en uno referido a un nuevo punto P tal que MP=0 y
Existen entonces tres alternativas para el sistema reducido resultante:
por cierto el último caso corresponderá a lo que se llama un sistema de fuerzas en equilibrio. El procedimiento de reducción de un sistema de fuerzas plano se ilustra en el ejemplo siguiente.
Ejemplo 1.18
El sistema de fuerzas de la Figura E1.18.a, referido a los ejes x e y, corresponde a todas las fuerzas (acciones y reacciones) que actúan sobre un cuerpo plano. Se pide: a) reducir el sistema de fuerzas dado a una fuerza y un momento en el punto O1; b) transformar el sistema anterior en uno estáticamente equivalente a él pero con la fuerza pasando por el punto O2; c) ¿existe una línea de acción de la fuerza tal que el momento del sistema pueda anularse?; d) ¿está el cuerpo en equilibrio?.
Solución:
a) La traslación paralela de todas las fuerzas al punto O1 corresponde a tener un sistema de fuerzas concurrentes en dicho punto. La resultante (suma) de este sistema de fuerzas se obtendrá haciendo la suma de las componentes horizontales y verticales, y posteriormente componiendo éstas para hallar la resultante R. En particular la fuerza F1 se puede descomponer en
y la distancia de F1 al punto O1 es d1=52 cm, de manera que el momento de F1 con respecto al punto O1 es
tomándose como positivo los momentos contra los punteros del reloj. Procediendo de igual forma para cada una de las fuerzas, se construye la siguiente tabla: