d) El coeficiente de roce μ, es independiente de la fuerza normal N y no depende del área de contacto de los cuerpos involucrados. El hecho de que el contacto se realice en un área pequeña, manteniendo N constante, sólo involucra una presión de contacto mayor, pero no altera a μ ni a la fuerza de roce máxima Fmax.
TABLA 1.1 Valores Típicos del Coeficiente de Roce Estático
Como se mencionó antes, el valor de μ para cada caso específico es muy incierto. Afortunadamente, sin embargo, su valor puede determinarse mediante un experimento muy simple. Este consiste en disponer una rampa de inclinación variable hecha de uno de los materiales y colocar sobre ella el segundo material, como ilustra la Fig. 1.40.a. Para cualquier inclinación ϕ, las fuerzas que actúan sobre el bloque y el correspondiente polígono de fuerzas se muestran en las Figs. 1.40.b y c.
Figura 1.40 Determinación del coeficiente de roce
El experimento consiste en aumentar progresivamente el ángulo ϕ hasta alcanzar ϕmax compatible con el equilibrio, es decir hasta que se inicie el deslizamiento del bloque. En referencia a la Fig. 1.40.c, con ϕ=ϕmax y utilizando el Teorema de Lamy, las ecuaciones de equilibrio son:
utilizando la segunda igualdad se tiene
pero por ser la situación límite de equilibrio, la fuerza de fricción alcanzó su valor máximo, luego
igualando las Ecs. 1-37 y 1-38 se tiene
con lo cual, medido ϕmax en el experimento, se obtiene el coeficiente de roce μ entre ambos materiales.
La explicación del experimento anterior se presta para introducir el concepto de ángulo de roce, que corresponde a la inclinación máxima respecto a la normal que puede adoptar la fuerza interna total entre dos superficies en contacto. En la Fig. 1.40.b la reacción se planteó en términos de las componentes normal al plano N y tangencial al plano Fr. Por supuesto la reacción total R es la suma de ellas dos, como muestra la Fig. 1.40.d, y por cierto R es vertical, e igual en magnitud y sentido contrario a W, pues el equilibrio exige R=W. Como puede apreciarse en la Fig. 1.40.d, R forma ángulo ϕ con la normal, o sea, forma ángulo ϕ con el plano inclinado. El experimento antes descrito puede entonces interpretarse diciendo que en la medida que se aumenta la inclinación de la rampa, se obliga a cambiar la inclinación de R con respecto al plano inclinado, aunque su magnitud se mantiene siempre constante igual a W y su dirección se mantiene siempre vertical. La pérdida de equilibrio al alcanzar ϕmax se explica entonces porque las superficies en contacto no son capaces de desarrollar una reacción interna con inclinación mayor a ϕmax. La máxima inclinación, o ángulo de roce, se relaciona con el coeficiente de fricción según la Ec. 1.39, de donde:
La interpretación geométrica del ángulo de roce máximo ϕmax es el llamado cono de roce. Si se tiene una partícula sobre una superficie cualquiera, para mantenerla en equilibrio en contacto con la superficie, la reacción R de la superficie sobre la partícula debe encontrarse sobre o al interior del cono generado por las infinitas rectas que forman ángulo ϕmax con la normal a la superficie en el punto de contacto (Fig. 1.41). Cuando R está justo sobre el cono, la partícula se encuentra en estado límite de equilibrio.
Figura 1.41 Cono de roce
Otra aplicación de la fricción se encuentra en el caso de cuerdas o correas en contacto con superficies rugosas. Por ejemplo, la Fig. 1.42.a muestra una cuerda real pesada que descansa en reposo sobre la rama de un árbol, aunque sin duda el peso de las partes colgantes es diferente como muestra la Fig. 1.42.b. Este tipo de fricción se utiliza mucho en máquinas, para transmitir el movimiento de un elemento rotatorio a otro, casos muy conocidos son la correa del ventilador de un automóvil, o la correa de la antigua máquina de coser movilizada con los pies. Una importante aplicación industrial es la correa transportadora, que consiste en una banda sin fin para acarrear granos, minerales, o productos molidos en general; el movimiento de la banda de goma se mantiene por contacto rugoso con un cilindro motriz accionado por un motor.
Por el contrario, hay ocasiones en que se desea minimizar el roce de contacto, utilizándose para ello dispositivos como las poleas. Cuando puede ignorarse el roce, por ser despreciable, se usan modelos de contacto liso, como muestran las Figs. 1.42.c y d; la propiedad fundamental en este caso es que la tensión T de la cuerda se mantiene constante, independiente de la longitud de contacto con el apoyo liso y de los ángulos de despegue de la cuerda a ambos lados de la curva de apoyo.
Figura 1.42 Cuerdas en contacto rugoso (a y b) y lisos (c y d)
Para analizar el estado de equilibrio límite de una cuerda liviana en contacto con una superficie cualquiera rugosa, considérese la Fig. 1.43. La cuerda está en contacto con la curva entre los puntos A y B donde se despega de ella, siendo tangente a la curva en dichos puntos. En A y B se han trazado las normales a la curva (perpendiculares a la tangente), las que se intersectan en 0 formando el ángulo β. Suponiendo que la cuerda está a punto de deslizar hacia la izquierda, a lo largo del camino entre A y B se desarrollan fuerzas de fricción en el contacto, designadas por f, que se oponen al deslizamiento (sentido contrario a T), y fuerzas normales n. Estas fuerzas, que podrían considerarse actuando en pequeños segmentos de la cuerda, no son constantes sino dependen de la curvatura de la superficie en el punto de contacto; en efecto, a mayor curvatura mayores son n y f (f=μn), mientras que si no hay curvatura (contacto plano) n y f son nulas. Por simplicidad, en la Fig. 1.43 se muestran con las mismas letras a todo el largo del contacto, pero en rigor son distintas en cada punto. Claramente T > To ya que, para romper el equilibrio, la fuerza T debe vencer a To más todas las fuerzas de fricción a lo largo del contacto. La evaluación de la relación entre T y To requiere usar cálculo integral (ver Riley y Sturges, 1995), lo que se omitirá aquí, llegándose a la expresión:
En que e es un número notable en matemáticas que corresponde a la base de los logaritmos naturales (la función logaritmo natural, designada por ln, es tal que si para dos números reales dados se cumple que ln(a)=b implica que eb=a). El número e corresponde al resultado de la serie infinita
Figura 1.43 Cuerda sobre superficie rugosa
Por su parte β, como muestra la Fig. 1.43, es el ángulo de contacto, o ángulo entre las normales en los puntos de tangencia, el que debe expresarse en radianes. Los radianes son una unidad de medida de ángulos: una circunferencia completa, es decir un ángulo de 360°, equivale a 2π radianes. La conversión de β de grados a radianes se obtiene entonces de la proporción