Figura E1.18.a
La última línea de la tabla es la suma de las 5 líneas anteriores. La resultante total R es entonces (Fig. E1.18.b):
que forma ángulo α con la horizontal
El sistema de fuerzas dado es equivalente a R actuando en O1 junto al momento MO1 como muestra la Fig. E1.18.b. Notar que MO1 se puso en su sentido verdadero a favor de los punteros del reloj, por ello en la figura se ha omitido el signo negativo del resultado de la Tabla.
Figura E1.18.b
b) Lo que se pide es trasladar el sistema resultante en O1 (Fig. E1.18.b) al punto O2. Para ello hay que dibujar a escala la resultante R en la Fig. E1.18.a y medir la distancia de su línea de acción al punto O2. Esto no se muestra aquí, pero se obtiene d=22 cm, pasando la línea de acción de R hacia la izquierda del punto O2. La nueva resultante en O2 es la misma R anterior, pero el momento en O2 es:
Los sistemas {RO1, MO1} y {RO2, MO2} son estáticamente equivalentes entre sí y equivalentes al sistema original dado:
Figura E1.18.c
c) Volviendo al sistema reducido de la Fig. E1.18.b, se ve en la Fig. E1.18.c que si la resultante se traslada a la línea de acción L3 a distancia z tal que
se tiene que en la nueva posición el sistema tiene la misma resultante R pero el momento, por ejemplo con respecto al punto O3 es:
Entonces el sistema originalmente dado se ha reducido a su expresión más simple, una única fuerza R=742 kg actuando en la línea de acción L3 y un momento nulo:
d) El cuerpo no está en equilibro porque a pesar de haberse anulado el momento persiste una resultante R=RO3≠0.
1.8.6 Equilibrio de un Cuerpo Rígido
Como puede anticiparse de la discusión y ejemplo de la Sección anterior un cuerpo estará en equilibrio cuando el sistema de fuerzas que actúa sobre él corresponda a un sistema nulo: tanto la fuerza resultante como el momento resultante son ambos nulos. Obviamente esto es lo que requiere la 2a Ley de Newton para que el sistema permanezca en reposo sin experimentar aceleración traslacional ni angular (aceleraciones asociadas a desplazamiento y rotación respectivamente).
Se tiene entonces que es condición necesaria y suficiente para el equilibrio de un cuerpo rígido sometido a un sistema cualquiera de n fuerzas externas Fi, que la resultante de las fuerzas sea nula, y que la suma de los momentos de las fuerzas con respecto a un punto O arbitrario sea también nula. Simbólicamente, las condiciones anteriores se escriben como
teniendo presente que las cantidades involucradas en las sumatorias anteriores son vectoriales y no pueden sumarse en forma algebraica directa. La Ec. 1.46 es la misma que la Ec. 1-29 condición equilibrio de una partícula. Para el caso de un cuerpo rígido debe cumplirse también la Ec. 1-47 que en el caso de una partícula se satisface automáticamente porque las fuerzas son concurrentes.
Como se discutió en la Sección 1.5, la Ec. 1-46 es equivalente a tres ecuaciones escalares (Ecs. 1-30 ó 1-31) que corresponden a las condiciones de equilibrio en términos de las componentes (o proyecciones) de las fuerzas con respecto a cada uno de los ejes de un sistema de coordenadas tridimensional. Del mismo modo, la ecuación de momentos (Ec. 1-47) equivale también a tres ecuaciones escalares en términos de las componentes (o proyecciones) de los momentos con respecto al sistema de referencia tridimensional. En resumen, las ecuaciones escalares de equilibrio de un cuerpo rígido en el espacio son seis.
Un gran número de casos de equilibrio de cuerpos rígidos en el espacio pueden tratarse como problemas planos, e incluso, cuando tal simplificación no es posible, los problemas pueden al menos parcialmente descomponerse para ser analizados en varios planos separadamente. Por problema plano se entiende aquel en que las fuerzas del sistema pueden suponerse contenidas en un plano, aunque no necesariamente los cuerpos involucrados sean planos (como por ejemplo el caso de la Fig. 1.33.c). Con frecuencia también se presentan casos en que el espesor del problema, o su tercera dimensión, es despreciable frente al tamaño de los cuerpos en el plano de sus dos dimensiones predominantes, como se discutirá más adelante en relación con el equilibrio de estructuras “planas”. La simplicidad de los problemas planos los hace particularmente atractivos para madurar los conceptos fundamentales de equilibrio; su simplicidad radica en que las Ecs. 1-46 y 1-47, que como se dijo antes representan seis ecuaciones escalares, se reducen a tres. En efecto, si el plano de las fuerzas del sistema es el plano xy, la tercera de las Ecs. 1-46 (Ec. 1-30.c ó 1-31.c) es irrelevante, por su parte, de las tres ecuaciones de momento, sólo queda una. Las condiciones de equilibrio de un cuerpo rígido plano son entonces:
en que O es punto cualquiera del plano de las fuerzas.
Ejemplo 1.19
Un hombre y un niño de pesos 70 y 32 kg respectivamente se encuentran sobre una pasarela provisoria de 100 kg de peso y 5 m de longitud como muestra la Fig. E1.19.a. Determinar las reacciones en los apoyos de la viga.
Figura E1.19
Solución: La Fig. E1.19.b muestra el modelo de cuerpo libre de la viga indicando las fuerzas que actúan sobre ella. Se han supuesto sólo dos fuerzas de reacción verticales en los extremos de la viga, ya que no hay solicitaciones horizontales. A las reacciones se les ha supuesto un sentido hacia arriba, opuesto al sentido de las cargas gravitacionales. Las ecuaciones de equilibrio relevantes son las Ecs. 1-48.b y c:
de la segunda ecuación se obtiene R2=405/5=81 kg, valor que introducido en la primera da R1=121kg.
Ejemplo 1.20
A una barra homogénea de 4 m de longitud y 100 kg de peso, que se apoya como se muestra en la Fig. E1.20.a, se le aplica una carga vertical P en su extremo A. Los contactos son rugosos con coeficiente μ=0,6. Se pide: a) Plantear las ecuaciones de equilibrio; b) Estudiar para que valor de P se rompe el equilibrio (por deslizamiento de la barra o porque su extremo B se levanta del piso).