A medida que se aplica τ, manteniendo el plano E fijo por simplicidad, los átomos de D se desplazan en la dirección x. Si τ es pequeño, no sobrepasa las fuerzas de enlace y el desplazamiento es elástico: al retirar τ, los átomos vuelven a sus posiciones. Si la tensión cizallante causa un desplazamiento igual a b/2, cada átomo de D estará directamente encima y alineado con uno de E. Debido a la simetría si se retira τ, los átomos se moverán con la misma facilidad hacia la derecha o hacia la izquierda, para volver a la posición de equilibrio.
Por eso, cuando x = b/2, entonces τ = 0; y cuando x = b, se vuelve a la configuración inicial, pero todos los átomos de D se han deslizado una distancia b igual al diámetro del átomo. Para causar este desplazamiento se debe aplicar un valor τmáx entre los desplazamientos 0 < x < b/2. Es claro que la tensión cizallante necesaria para mover los átomos sobre el plano E varía periódicamente desde cero hasta un valor máximo τmáx.
Figura 7.4 Tensión para cizallar un cristal ideal
Frenkel expresó la variación de τ con x como una función sinusoidal (aunque hay formas más exactas). En esencia:
τ = τmáx sen(2πx)/b, (7.1)
que se grafica en la figura 7.2b.
Si x = 0 o x = b/2, τ es cero; y si x = b/4, τ alcanza su máximo valor.
Para desplazamientos pequeños (x << b):
τ = τmáx (2πx)/b. (7.2)
Según la ley de Hooke, otra expresión para τ es:
τ = Gx/a,
donde G es el módulo de cizalladura y x/a es la deformación cortante.
Así, al igualar las ecuaciones 7.1 y 7.2 se tiene:
τmáx = Gb/2πa
τ = (Gb/2πa) sen(2πx/b) (7.3)
El valor máximo de τ representa la tensión a la cual se hace inestable la red y ocurre cuando x = b/4, o sea que:
τmáx = Gb/2πa ≈ τ0 (7.4)
donde τ0 es el esfuerzo cizallante crítico.
Para materiales cúbicos de cara centrada:
b = a0 /
siendo a0 = parámetro de la red. Así,
τmáx = G/5,4.
Los modelos más complejos dan valores de τmáx en las cercanías de G/30. Sin embargo, es instructivo comparar los valores teóricos calculados con la ecuación 7.4 con los valores de tensiones cizallantes determinados experimentalmente en monocristales de varios materiales, como se ve en la tabla 7.2.
Tabla 7.2 Tensiones de cedencia experimentales y teóricas (en cizalladura) de varios materiales
| Material | G/2π (GPa) | τexp, (Mpa) | Error, τ0/τexp |
| Ag | 2,6 | 0,37 | 3 × 104 |
| Al | 11,3 | 0,78 | 1 × 104 |
| Cu | 19,6 | 0,49 | 4 × 104 |
| Ni | 32 | 3,2-7,35 | 1 × 104 |
| Fe | 33,9 | 27,5 | 1 × 103 |
| Mo | 54,1 | 71,6 | 8 × 102 |
| Mg (des. basal) | 7 | 0,39 | 2 × 104 |
| Mg (des. prism) | 7 | 39,2 | 2 × 102 |
| Ti (des. basal) | 16,9 | 13,7 | 1 × 103 |
Fuente: Meyers y Chawla (1982).
7.2. La necesidad de defectos: las dislocaciones
La conclusión inevitable de los trabajos teóricos esbozados fue que los modelos usados no representan el comportamiento de los cristales reales, los cuales contienen defectos que reducen su resistencia mecánica. En 1921, Alan Arnold Griffith (véase figura 7.5) postuló la presencia de grietas microscópicas para explicar la relativa debilidad de los sólidos frágiles como los vidrios, donde la tensión de fractura es muy inferior a la resistencia cohesiva máxima teórica. Este análisis originó lo que hoy se conoce como mecánica de la fractura, que es un enfoque mecánico-matemático de este problema.
Figura 7.5 Alan Arnold Griffith (1893-1963). Sus análisis originaron la mecánica de la fractura
Fuente: Suo (2006).
Figura 7.6 Teóricos de las dislocaciones. a. Michael Polanyi (1891-1976); b. Geoffrey Ingram Taylor (1886-1975); c. Vito Volterra (1860-1940).
Fuentes: Wikipedia (s. f. 4); Wikipedia (s. f. 9).
Otra manera de explicar la contradicción entre la teoría y la realidad de las dislocaciones fue postulada independientemente en 1934 por Michael Polanyi (véase figura 7.6a) y Egon Orowan en Alemania, y Geoffrey Ingram Taylor (véase figura 7.6b) en Inglaterra, introduciendo el concepto de dislocación, defecto este que permitiría que el plano D de la figura 7.4 se deslizara con niveles de tensión muchos más bajos (Hirth, 1985). Es de anotar que estas ideas ya habían sido esbozadas por el físico matemático italiano Vito Volterra en 1905 (véase figura 7.6c).
Con la introducción de un semiplano extra de átomos en la red, como se ve en la figura 7.7, los mencionados autores pudieron demostrar que la rotura de enlaces en el plano de deslizamiento se puede restringir a la vecindad inmediata del extremo inferior del semiplano extra (llamado línea de dislocación). A medida que la línea de dislocación se mueve a través del cristal (como el pliegue en una alfombra o como el avance de una oruga), la rotura de los enlaces se da de manera consecutiva y no simultáneamente, como era necesario en la red perfecta (véase figura 7.1).
Figura 7.7 Defecto de la red causado por la introducción de un semiplano extra de átomos
Obsérvese como el semiplano extra se mueve a través de la red cristalina semejante al movimiento que hace una oruga al desplazarse.
Figura 7.8 Johannes Martinus Burgers (1895-1981). Teórico de la dislocación de tornillo.
Fuente: Wikipedia (s. f. 5).
Este tipo de dislocación propuesto por Polanyi, Orowan y Taylor vino a ser conocido como dislocación de cuña o de borde. Este concepto permaneció sin mucho desarrollo hasta después de la Segunda Guerra Mundial, a pesar de que en 1939 Johannes Martinus Burgers (véase figura 7.8) conceptualizó otro tipo de dislocación que vino a conocerse como dislocación de tornillo, de hélice o de tirabuzón (Burgers, 1940) (véase figura 7.9).
Luego de 1945, el desarrollo de la teoría y la obtención de evidencias fehacientes de su importancia sentaron formalmente las bases de la interpretación de la deformación y el endurecimiento de los metales como consecuencia de la presencia y el comportamiento de las dislocaciones; esto es lo que se pretende exponer en este capítulo.
Figura 7.9 Dislocación de tornillo propuesta por Burgers
7.3. Modelos de dislocaciones
En realidad, en los cristales reales existen imperfecciones o “defectos” puntuales, lineales, superficiales o volumétricos. En este capítulo se tratan las imperfecciones de línea o dislocaciones, y se introduce el tema de las imperfecciones de superficie, como los límites de grano. Los otros tipos de