Figura 5.11 Índices de algunos planos en cristales hexagonales
Los índices son (hkil), donde i = –(h + k).
Las direcciones se dan en términos de los cuatro ejes a1, a2, a3, c; se usan los componentes del vector u, v, t, w con la condición u + v + t = 0; el vector ruvtw = ua1 + va2 + ta3 + wc tiene dirección [uvtw].
En el caso de las estructuras cúbicas, es bueno recordar que el espaciamiento entre dos planos {hkl} es:
5.2.5. La proyección estereográfica
Las relaciones entre los planos, las direcciones y los ángulos de un cristal se pueden representar convenientemente en un diagrama bidimensional, mediante la proyección estereográfica. Es decir, en un plano se representan las características volumétricas. Esta proyección es muy usada en ciencia de los metales, sobre todo para describir características microestructurales.
El esquema general de la proyección estereográfica es:
1 Los planos se representan con sus normales.
2 El cristal se coloca en el centro de una esfera y las normales se proyectan hacia afuera, hasta que interceptan la esfera.
3 Las intersecciones de las normales sobre la esfera se proyectan sobre un plano (el ecuatorial) para tener el gráfico deseado.
La proyección estereográfica resultante es una herramienta muy útil; entre otras cosas, permite visualizar y discutir la relación entre planos y direcciones del cristal, analizar mejor los esquemas de difracción de rayos X y electrones, representar esquemáticamente la simetría de la red, y determinar los ángulos entre planos y direcciones en el cristal.
En la figura 5.12 se ilustra el proceso. El cristal está en el centro de la esfera, de modo que los planos se representan con los interceptos entre sus normales y la esfera, como se ve en la figura para diferentes planos.
Figura 5.12 Principio de la proyección esterográfica
Fuente: Hurlburt, 1982: 55.
Figura 5.13 Proyección de los polos sobre el plano ecuatorial, con una línea recta que va hasta el polo sur
Fuente: Hurlburt, 1982: 57.
El ángulo entre dos polos cualesquiera se puede medir en grados sobre el arco del círculo máximo entre los polos. Las caras son ahora puntos sobre la esfera, pero todavía se está en tres dimensiones y representar todos los planos como polos sobre la esfera sería muy engorroso, de modo que el arreglo de polos de la esfera de referencia, que muestra los planos del cristal, se proyectan sobre el plano ecuatorial (véase figura 5.13). Para ello se traza una recta desde el polo de la cara al polo sur. La intersección con el plano ecuatorial es el nuevo polo que representa la cara. El diseño de polos proyectados sobre el plano ecuatorial o primitivo constituye, entonces, la proyección estereográfica del cristal. Esta es una proyección bidimensional, como se aprecia mejor en la figura 5.14.
Figura 5.14 La proyección bidimensional
Fuente: Hurlburt, 1982: 57.
En la proyección esférica se ven fácilmente los elementos de simetría cuando se usan los símbolos correspondientes, como se observa en la figura 5.15.
Figura 5.15 a. Polos de las caras y principales zonas; b. elementos de simetría: ◊ = eje de simetría doble, Δ = eje de simetría triple,
Fuente: Hurlburt, 1982: 57a.
El tema completo del uso de la proyección estereográfica y su notación pertenece al amplio campo de la cristalografía; sin embargo, es común encontrar estos diagramas en la notación de los cristales metálicos y es importante repasar estos conceptos.
Para ubicar cualquier proyección es útil la red de Wulff (véase figura 5.16). La parte superior de la red es el polo norte y el eje horizontal el ecuador. Así, las líneas que van verticalmente son las longitudes y las horizontales las latitudes. De esta manera, se puede ubicar cualquier punto sobre la proyección si se conocen sus coordenadas de longitud y latitud. También se pueden medir los ángulos entre los polos.
Figura 5.16 Red de Wulff
Así, para construir la proyección de un plano {hkl} se tiene la esfera de referencia con el polo hkl en el centro de la proyección y con, al menos, los polos {100}, {111} y {011} representados. Para hacer esto se pone un papel milimetrado sobre la red de Wulff y se ubica el polo (001) en el centro. En la figura 5.17a se puede ver que el polo (100) estará en el polo sur de la proyección y el polo (010) en el extremo este del ecuador, como se muestra en la figura 5.17b.
Figura 5.17 Construcción para hacer una proyección estándar (001): a. construcción; b. proyección estándar.
Ahora, en la figura 5.17a, considérese el plano que contiene el origen, el polo (100) y el polo (011). Es claro que este plano hace una traza sobre la esfera, que en las proyecciones aparecerá a una longitud de 45°, como se muestra en la figura 5.17b. También es evidente que el polo (011) está ubicado en la intersección de esta longitud con el ecuador (véase figura 5.17a). El polo (111) está sobre esta longitud y debe hallarse en el círculo mayor que pasa por los polos (001) y (110). Este círculo será una línea recta en la proyección y el polo (111) se localiza en la intersección de esta línea con la longitud de 45° Este, como se ilustra en la figura 5.17b.
Figura 5.18 Proyección estándar (001) para cristales cúbicos
A partir de la simetría de los cristales cúbicos se construye fácilmente el resto de las proyecciones de (001). El resultado se presenta en la figura 5.18. Es útil notar que cualquier polo en el cuadrante i tiene índices {h̅kl}; y para los otros cuadrantes, se tiene: en ii, {h̅k̅l}; en iii, {hk̅l}, y en iv, {hkl}.
En la figura 5.19 se muestra la misma figura 5.18 con muchos más planos ubicados, para facilitar su aplicación.
Figura 5.19 Proyección estereográfica (001) de los planos en un sistema cúbico
5.3. La determinación de la estructura cristalina
A comienzos del siglo xx tuvo lugar un cambio fundamental en la interpretación microscópica de la estructura de la materia. Este cambio se debió al físico Max von Laue, quien descubrió la difracción de los rayos X por los cristales. Laue fue nombrado profesor de la Universidad de Múnich en 1909. En dicho centro se reunía un claustro excepcional: Wilhelm Röntgen, descubridor, en 1895, de los rayos X, era el profesor de física experimental; Arnold Sommerfeld, que tendría un papel protagonista en la génesis de la mecánica cuántica, enseñaba física teórica, y Paul Heinrich von Groth era el profesor de cristalografía y mineralogía.
El físico Paul Peter Ewald, uno de los ayudantes de Sommerfeld