La celda unitaria cúbica de cuerpo centrado tiene átomos en las esquinas y en el centro (véase figura 5.6a), o sea dos átomos por celda (véase figura 5.6b), uno en el centro y ocho octavos. Cada átomo está rodeado de ocho vecinos próximos, es decir, el número de coordinación es 8. Si el lado de la red es a (parámetro de red), su relación con el diámetro atómico d es:
Figura 5.6 Red cúbica de cuerpo centrado
a. posición de los átomos; b. hay dos átomos por celda; c. el diámetro de los átomos está relacionado con el parámetro de la red a.
Fuente: NDT Resource Center (s. f.).
5.2.3.2. Red cúbica de caras centradas
La celda unitaria cúbica de caras centradas tiene átomos en las esquinas y en el centro de las caras (véase figura 5.7a), o sea cuatro átomos por celda (véase figura 5.7b), seis medios de las caras y ocho octavos. Cada átomo está rodeado de doce vecinos próximos, es decir, el número de coordinación es 12. Si el lado de la red es a (parámetro de red), su relación con el diámetro atómico d es:
Figura 5.7 Red cúbica de cuerpo centrado
a. posición de los átomos; b. hay cuatro átomos por celda; c. el diámetro de los átomos está relacionado con el parámetro de la red a.
Fuente: NDT Resource Center (s. f.).
5.2.3.3. Red hexagonal compacta
Estrictamente, la celda unitaria hexagonal es un paralelepípedo, pero normalmente se visualiza como un prisma hexagonal construido con tres paralelepípedos (véase figura 5.8). Este prisma no es una celda unitaria per se, sino una ayuda para visualizar la estructura hcp.
Figura 5.8 Celda hexagonal compacta
La celda así construida tiene átomos en las esquinas y en el centro de las caras, y tres en el interior (véase figura 5.9a), o sea seis átomos por celda (véase figura 5.9b), doce sextos de las esquinas, dos medios de las caras y tres interiores. Cada átomo está rodeado de doce vecinos próximos, es decir, el número de coordinación es 12. Si el lado de la red es a (parámetro de red), su relación con el diámetro atómico d es: d = a. La relación con la altura es:
Figura 5.9 Red hexagonal compacta
a. posición de los átomos; b. hay seis átomos por celda; c. el diámetro de los átomos está relacionado con el parámetro de la red a y con la altura c.
Fuente: NDT Resource Center (s. f.).
En teoría, la relación entre la altura y la apotema es c/a = 1,633, pero la mayoría de los materiales no tienen esa relación, aunque algunas las tienen muy próximas, por ejemplo, el Co y el Mg (véase tabla 5.2).
Tabla 5.2 Parámetros de red de los elementos hcp
| Elemento | Alturac(nm) | Apotemaa(nm) | Altura/Apotemac/a | Diámetro átomicod (nm) |
| Be | 0,35841 | 0,22854 | 1,568 | 0,225 |
| Cd | 0,5617 | 0,29787 | 1,886 | 0,2979 |
| Co | 0,4069 | 0,2507 | 1,623 | 0,2506 |
| Mg | 0,52103 | 0,32092 | 1,624 | 0,3196 |
| Ti (25 °C) | 0,46833 | 0,29504 | 1,587 | 0,289 |
| Zn | 0,4945 | 0,2664 | 1,856 | 0,2664 |
| Zr | 0,5133 | 0,3230 | 1,589 | 0,317 |
En vista de esta no idealidad, el diámetro d no siempre es igual a a. Si c/a es mayor que el valor ideal, el diámetro atómico debe ser igual a a. Si c/a es menor que el valor ideal, debe ser cierto lo opuesto, y d debe ser menor que a.
5.2.4. Coordenadas de posición e índices de Miller
Una posición en la red o en una celda unitaria se especifica en términos de sus coordenadas. Si el vector desde el origen hasta el punto (x, y, z) es r[xyz] = xa + yb + zc, entonces las coordenadas del punto son: x, y, z. En otras palabras, las coordenadas se expresan en términos de las aristas de las celdas unitarias y no como longitudes (cm o nm). Así, con un origen situado en un punto de la red, el punto en la posición (3, 2, 1) está en el extremo del vector r[321], que se obtiene moviéndose una distancia 3a en el eje a, luego 2b paralelamente al eje b y 1c paralelo al eje c.
Se necesita una notación para especificar las direcciones en un cristal. La que se usa es [uvw] para indicar la línea de dirección desde el origen hasta un punto cuyas coordenadas son uvw. Así mismo, es costumbre usar corchetes ([ ]), evitar el uso de fraccionarios y utilizar los enteros menores que localicen un punto en la línea. De esta manera, como una línea que pasa por 0, 0, 0, y 2, 2, 0 también pasa por 1, 1, 0, los índices de esta línea y cualquier otra paralela son [١١٠]. Un índice negativo se escribe con el menos encima, por ejemplo, [uv̅0] significa la dirección que pasa por 0, 0, 0 y u, –v, 0. Debido a la simetría, varias direcciones en un cristal son equivalentes. Un conjunto completo de direcciones (direcciones de una forma) se indican con los signos “mayor y menor que” (<uvw>). Las aristas del cubo de una celda unitaria de un cristal cúbico, por ejemplo, se indican con <100>.
Los índices de Miller se usan universalmente como el sistema de notación para las caras de un cristal o los planos de una red. Estos índices especifican los planos en relación con los ejes del cristal, sin dar la posición del plano en el espacio con respecto al origen. Se basan en los interceptas de un plano con los tres ejes cristalinos; cada intercepto con un eje se mide en términos de la dimensión de la celda unitaria (a, b, o c) a lo largo de ese eje (no en unidades de distancia, cm o nm). Para determinar los índices de Miller del plano se sigue este procedimiento:
1 Hallar los interceptos sobre los tres ejes.
2 Tomar los recíprocos de esos números.
3 Reducir al mínimo común denominador.
4 Encerrar los numeradores entre paréntesis.
En la figura 5.10 se ilustran los índices de Miller de algunos planos importantes. Los interceptos negativos dan índices con un signo menos encima. La representación (h̅kl), por ejemplo, indica que el intercepto sobre el eje a es negativo.
{100} = (100) + (010) + (001) +(1̅ 00) + (01̅ 0) + (001̅ ).
Los planos de una forma tienen todos la misma configuración atómica.
Figura 5.10 Algunos planos cristalográficos importantes
a. planos (100); b. planos (010); c. planos (111); d. planos (110); e. planos (1̅10); planos (112)
El uso de paréntesis (hkl) significa un solo plano. Se usan llaves {hkl} para un conjunto de planos equivalentes (por ejemplo, todos los planos paralelos tienen los mismos índices—como las caras del cubo en un cristal cúbico).
Los índices basados en los tres ejes se usan con los cristales hexagonales, pero tienen la objeción de que los planos equivalentes no tienen índices similares. Por esta razón, muchos cristalógrafos prefieren usar cuatro índices, con base en los cuatro ejes señalados en la figura 5.11, es decir, a1, a2, a3, c. Los planos equivalentes se indican por permutaciones de los primeros tres índices, pues los tres ejes a son equivalentes. Por ejemplo, los planos (11̅