Como se estudió allí, los átomos de un sólido permanecen juntos sin llegar a unirse, adquiriendo así una densidad muy elevada; por tanto, un modelo de sólido debe tener al menos dos características: debe admitir las fuerzas de atracción entre los átomos, cuando estos se encuentran demasiado alejados, y poderosas fuerzas de repulsión, cuando se aproximan excesivamente.
Dicho modelo es el llamado de bola dura y se ha mostrado que, en el caso de dos esferas, el estado energético inferior tiene lugar cuando estas llegan a tocarse. Para tres esferas, la configuración energética inferior consiste en una disposición triangular, donde cada una toca a las otras dos. La ordenación energética inferior para siete esferas, en un plano, consiste en una disposición hexagonal, donde seis esferas tocan a una central (véase figura 5.1). Esta disposición tiene doce pares que interactúan, máximo número posible para siete esferas en un plano.
Figura 5.1 Empaquetamiento de las esferas en un plano
a. Dos esferas; b. tres esferas; c. siete esferas; d. muchas esferas. El rombo trazado en d se denomina celda unitaria.
Como se ve en la figura 5.1, ocho, nueve, diez… n esferas se ordenan alrededor de las siete centrales, repitiendo indefinidamente la simetría del grupo inicial. Por esta disposición perfecta se ha hecho máximo el número de pares interactuantes (minimizando la energía potencial). Aunque los cristales bidimensionales de este tipo solo existen en la imaginación, pueden obtenerse cristales tridimensionales de baja energía por apilamiento de capas de átomos unas sobre otras, según una secuencia regular de apilamiento. Existe más de una posibilidad de apilamiento; las dos más comunes son las que aparecen en la estructura de los metales.
La métrica, es decir, las dimensiones de la celda unitaria (parámetro de red), en general difiere para los distintos compuestos y fases. La mayoría de los elementos adoptan varias estructuras diferentes (alotrópicas) a distintas temperaturas, presiones o campos externos. Las transformaciones de una modificación a otra se llaman transformaciones de polimorfismo o transiciones de fase.
5.2.2. La red cristalina
Dado que la característica esencial de un cristal es la naturaleza periódica de su estructura interna, es natural relacionar el ordenamiento atómico con una retícula de puntos en el espacio, llamada red espacial —o simplemente red de retícula—, donde el entorno de cada punto es idéntico al de los otros átomos. En la figura 5.2 se esquematiza un ejemplo.
Figura 5.2 Una red espacial
a, b y c son vectores que especifican la dirección y la magnitud de la translación de un punto hasta el próximo a lo largo de una fila de puntos en el plano.
Séase una fila de átomos en un cristal. El ordenamiento a lo largo de la fila se repite a sí mismo a intervalos regulares, de modo que el esquema repetitivo se puede representar con una fila de puntos igualmente espaciados. Estos puntos son los puntos de una red espacial.
De igual modo, el ordenamiento en un plano atómico tendrá una periodicidad que puede representarse con un arreglo bidimensional de puntos, donde cada punto está asociado con una aglomeración de átomos similar. Si un vector a especifica la dirección y la magnitud de la translación de un punto hasta el próximo a lo largo de una fila de puntos en el plano, y si el vector b hace lo mismo para otra fila en una dirección diferente, como se indica en la figura 5.2, entonces la relación ruv = ua + vb (con u y v enteros) describe la posición de otros puntos de la red en el plano.
Es posible escoger el conjunto de vectores a y b de modo que los números enteros u y v lo sean para todos esos puntos. Por otro lado, puede ser conveniente escogerlos de modo distinto, por ejemplo, con el fin de que a y b sean perpendiculares; en ese caso, u y v tendrán valores fraccionarios para ciertos puntos. Por último, considérese la periodicidad a través del cristal tridimensional. Se necesitan tres translaciones fundamentales, a, b y c, y no todas pueden estar en un plano. Cualquier punto en el espacio tridimensional se puede especificar con r[uvw] = ua + vb + wc y, como ya se indicó, si se desea, los vectores a, b y c se pueden escoger de modo que u, v y w sean enteros. La translación c superimpone al plano de la red que contiene a a y b sobre otro plano reticular que es paralelo a él.
Los vectores fundamentales de translación sirven como ejes de referencia para el cristal. Estos ejes cristalinos pueden ser o no ortogonales, y pueden ser o no de igual longitud según el cristal que se considere. Si se cuentan todas las combinaciones de igualdad y desigualdad entre ángulos interaxiales y las longitudes de los ejes, se halla que son posibles solo catorce clases de redes. Son conocidas como redes de Bravais, pues fue Auguste Bravais el primero en formular este concepto de red en 1850. Cada una de estas catorce clases se llama también grupo de translación, pues la totalidad de las translaciones tipo ruvw en un cristal constituyen un grupo. Estas catorce clases se pueden derivar con la teoría de grupos (véase figura 5.3).
Para especificar un punto dado en una red o átomo en una estructura, las coordenadas se refieren a los ejes del cristal. Los cristales más simétricos, por ejemplo, se toman con ejes de un sistema cúbico. Otros sistemas se indican en la tabla 5.1. Hay, como se ve, siete sistemas cristalinos.
Como se ha dicho, los ejes cristalinos forman los lados de un paralelepípedo llamado celda unitaria. Cada cristal se construye como un apilamiento repetitivo de celdas unitarias, cada una idéntica en tamaño, forma y orientación respecto a las otras del cristal. Una celda unitaria se traza siempre con puntos reticulares en cada vértice, pero también hay puntos en el centro de ciertas caras o en el centro del cuerpo de ciertas redes. Según la cantidad de puntos se puede hablar de densidad lineal (átomos/unidad de longitud), densidad planar (átomos/unidad de área) y densidad de volumen (átomos/unidad de volumen). Así, pues, las estructuras metálicas son densas.
Además, como ya se indicó en la sección 5.2.1, cuando los puntos reticulares se consideran los centros de átomos esféricos que se tocan entre sí, se habla del modelo de bola dura, como se ve en la figura 5.4 para las redes bcc y fcc.
Figura 5.3 Las catorce redes cristalinas, con celdas unitarias
Tabla 5.1 Geometría de los sistemas cristalinos
| Sistema | Ejes | Ángulos interaxiales |
| Cúbico | a = b = c | Todos los ángulos = 90° |
| Tetragonal | a = b ≠ c | Todos los ángulos = 90° |
| Ortorrómbico | a ≠ b ≠ c | Todos los ángulos = 90° |
| Monoclínico | a ≠ b ≠ c | Dos ángulos = 90°, un ángulo ≠ 90° |
| Triclínico | a ≠ b ≠ c | Todos los ángulos distintos y diferentes de 90° |
| Hexagonal | a1 = a2 = a3 ≠ c | Ángulos de ٩٠° y 120° |
| Romboédrico | a = b = c | Todos los ángulos iguales y diferentes de 90° |
Figura 5.4 Modelo de bola dura para las redes: a. cúbica centrada en el cuerpo (bcc) y b. cúbica centrada en las caras (fcc)
5.2.3. Las celdas unitarias de los metales
A pesar de que existen catorce redes posibles, la mayoría de los metales cristalizan en una de tres celdas unitarias básicas: la cúbica de cuerpo centrado (bcc), la cúbica de caras centradas (fcc) y la hexagonal compacta (hcp), como se ve en la figura 5.5.
Figura