iii) Equilibrio de componentes verticales en la Fig.E1.11.c:
que entregará el valor de T una vez calculado β a partir de x e y.
Las ecuaciones derivadas en i e ii permiten calcular x e y. En efecto, introduciendo la segunda en la primera se obtiene una ecuación para y:
Puede entonces determinarse el ángulo β de:
y finalmente
Ejemplo 1.12
Determinar analíticamente las fuerzas R y T del problema de la Fig. 1.32 si W=100 kg, L1=117 cm, L2=92 cm, α=31º, y h=112 cm.
Solución: Cabe primero destacar que la solución gráfica que muestra la Fig. 1.32.b es extremadamente simple, ya que basta con adoptar una escala para representar la dimensión de la fuerza W y las direcciones de las fuerzas R y T se toman paralelamente de las direcciones que ellas tienen en la Fig. 1.32.a. Los valores de R y T se leen a la misma escala en la Fig. 1.32.b. La solución analítica que sigue, en cambio, es más elaborada ya que requiere determinar previamente los ángulos β y γ (Fig. E1.12) haciendo uso de las condiciones geométricas del problema. Para ello considérese la Fig. E1.12, donde se tiene que:
Por otra parte, tan γ
Pero, OB cos β = BC cos α = AC cos α = 50,144, luego
Reemplazando en la expresión de AE se tiene
luego
Figura E1.12
Finalmente, utilizando el polígono de fuerzas en la Fig. E1.12, haciendo equilibrio de fuerzas en direcciones horizontal y vertical respectivamente, se tiene:
Reemplazando la primera ecuación en la segunda queda:
1.6 Equilibrio de un Sistema de Partículas
1.6.1 Noción de Sistema
Cualquier sistema que contenga más de una partícula es un sistema de partículas. Lo más común es que los sistemas estén constituidos por diversos cuerpos, los que a su vez pueden tener distintas partes conformadas por infinitas partículas. Lo importante para el análisis del equilibrio es tener claro cuál es el sistema que se está considerando, al que se aisla arbitrariamente para centrar la atención en él. La Fig. 1.33 muestra diversos sistemas en que el lector puede ejercitarse identificando cuántas partes los componen.
A continuación se analizará en detalle el sistema de la Fig. 1.33.c. Supóngase que interesa analizar el equilibrio del cilindro 1; esta parte, o subsistema del conjunto total, pasa a ser el sistema u objeto en que se centra el interés. Para el análisis del sistema seleccionado se prepara el llamado diagrama de cuerpo libre, en el cual se presenta el cuerpo de interés aislado de los otros cuerpos que interactúan con él. La interacción se representa por medio de las fuerzas que los cuerpos externos al sistema ejercen sobre el cuerpo de interés. Como se aprecia en la Fig. 1.34.a, sobre el cilindro 1 actúan las fuerzas externas siguientes: N, reacción del cilindro 2 sobre el cilindro 1, R, reacción de la pared vertical sobre el cilindro 1, y su propio peso W1. Se define entonces como fuerza externa de un sistema aquella que es ejercida por una partícula ajena al sistema, mientras que una fuerza que actúa sobre una partícula de un sistema es interna cuando es ejercida por otra partícula del mismo sistema. En la Fig. 1.34.a no aparece ninguna fuerza interna, porque no se han representado las fuerzas de contacto entre las infinitas partículas que constituyen la materia del cilindro 1. Cabe destacar también que el peso W1 es una fuerza externa porque es ejercida por la atracción gravitacional de la Tierra, cuerpo externo al cilindro 1. Ciertamente, para estudiar el equilibrio del cilindro 1, se le puede modelar como una partícula hipotética ubicada en su centro de gravedad, donde concurren las tres fuerzas que actúan sobre él.
Análogamente, si se considera el sistema constituido por el cilindro 2 de la Fig. 1.33.c, las fuerzas externas a él son su propio peso W2, la acción N que le ejerce el cilindro 1, y P y Q reacciones del piso y la pared que lo sostienen (Fig. 1.34.b). Finalmente, si el sistema considerado incluye ambos cilindros, como ilustra la Fig. 1.34.c, las fuerzas externas son W1, W2, P, Q, y R; notar que en este subsistema no debe incluirse la interacción interna N por ser precisamente una fuerza interna del sistema.
Figura 1.33 Sistemas de varios componentes
Figura 1.34 Posibles subsistemas del sistema de la Fig. 1.33.c
Figura 1.35 Subsistema del sistema de la Fig. 1.33.a
Naturalmente el sistema a considerar no tiene por qué limitarse a incluir cuerpos completos. Por ejemplo, podría ser de interés analizar la porción sobre la línea segmentada de la Fig. 1.33.a, lo que equivale a seccionar la cuña correspondiente mediante un plano horizontal. Como muestra la Fig. 1.35, este tipo de análisis puede ser requerido si se desea determinar la fuerza interna I global que se transmite a través del plano o sección interna. La evaluación de esfuerzos internos en elementos estructurales es un tema de gran relevancia que se estudiará en detalle en el Capítulo 2.
1.6.2 Condiciones de Equilibrio
Es condición necesaria y suficiente para el equilibrio de un sistema de partículas, que cada una de las partículas que lo constituyen esté individualmente en equilibrio. Esta es una verdad evidente que no necesita demostración, sin embargo desde el punto de vista operativo resulta impracticable plantear las condiciones de equilibrio para las infinitas partículas de un sistema. Por ello, resulta conveniente indagar sobre condiciones más generales que permitan sacar conclusiones sobre el equilibrio del sistema.
Figura 1.36 Sistema de partículas
Considérese para ello el sistema de cuatro partículas sin peso de la Fig. 1.36. En particular, sobre la partícula 1 actúa una fuerza externa designada por F1 y fuerzas internas de interacción f21, f31 y f41 que le ejercen las partículas 2, 3 y 4 respectivamente. Si cada partícula está en equilibrio, se pueden escribir 4 ecuaciones simbólicas (Ec. 1-29):
recordando