gdzie xi, yi są nieskumulowanymi odsetkami powierzchni i zaludnienia.
Do obliczenia współczynnika wystarczy wziąć połowę sumy różnic bezwzględnych wartości. Wartość tego wskaźnika oblicza się w odsetkach.
Posługując się szeregiem rozdzielczym, w którym występują grupy zamiast poszczególnych jednostek, otrzymamy nieco wyższe wartości obu współczynników. Oczywiście oba współczynniki nie są ze sobą porównywalne wprost, a ich zależność wzajemna przedstawia się następująco:
Można wykazać, że oba te współczynniki mogą być wyrażone jako wskaźniki dyspersji gęstości jednostek przestrzennych (średnia różnica i średnie odchylenie).
Należy podkreślić, że wartość miar koncentracji zależy w znacznej mierze od przyjętych jednostek odniesienia, przy czym w zasadzie im podział jest bardziej szczegółowy, tym wyższy jest stopień koncentracji ludności. Zagadnienie wielkości jednostek jest szczególnie istotne przy badaniach porównawczych. Pamiętać należy, że właśnie w badaniach porównawczych tkwi główny walor metody. Przykładem właśnie takiej analizy porównawczej może być studium wykonane dla obecnego obszaru Polski, w którym zmiany koncentracji ludności zbadano w podziale na powiaty w czterech okresach: 1910/1913 – 1931/1933 – 1950 – 1960 r. (ryc. 8).
Ryc. 8. Zmiany koncentracji ludności na obecnym obszarze Polski w latach 1910-1960 (Kosiński 1967, s. 52)
Porównanie krzywych wykazuje, że stopień koncentracji ludności ustawicznie wzrasta. Jednakże bardziej precyzyjnie zjawisko to można określić posługując się współczynnikami koncentracji (tab. 2).
Tab. 2. Zmiany stopnia koncentracji ludności na obecnym obszarze Polski w latach 1910-1960 (Kosiński 1967, s. 52)
Przedstawione metody obliczania koncentracji przestrzennej mają niewątpliwie zalety, stwarzają jednak wiele trudności przy interpretacji wyników. Do najważniejszych z nich zaliczyć można nieporównywalność wyników, opartych jedynie na stosunkach wybranych pól. Dwie krzywe dadzą ten sam wskaźnik, mimo że dotyczą obszarów, na których ludność jest różnie skoncentrowana, na przykład gdy pierwsza krzywa ma wybrzuszenie w górnym rogu kwadratu, a druga w dolnym. Innym mankamentem tej metody jest wpływ wielkości jednostki podziału terytorialnego, przez co rezultaty są nieporównywalne dla różnego rodzaju jednostek administracyjnych (ryc. 9).
Ryc. 9. Graficzna interpretacja zjawiska i współczynnika koncentracji Lorenza (Jagielski 1974, s. 104)
Asymetrią krzywej koncentracji zajął się R. Jedut (1961), który wprowadził iloraz korygujący k:
Można go nazwać wskaźnikiem asymetrii krzywej koncentracji, przy czym a1 i a2 to dwie części pola koncentracji, przedzielonego drugą przekątną, zaś
Ryc. 10. Krzywa koncentracji ludności (krzywa Lorenza) (Kurkus 1984, s. 24)
W ten sposób zmodyfikowany współczynnik koncentracji R. Jeduta przybiera postać:
W sytuacji, gdy a1>a2, czyli
Zmodyfikowany współczynnik k jest miarą syntetyczną, charakteryzującą całość rozkładu badanej zbiorowości i wraz z klasycznym współczynnikiem koncentracji t] wyjaśnia przyczynę charakteru krzywej oraz wielkości koncentracji.
Doskonałym uzupełnieniem krzywej Hoovera i wskaźnika koncentracji jest mapa, przedstawiająca w sposób typowo geograficzny rozmieszczenie ludności. Wskaźnik ten pokazuje nierównomierny rozkład dwóch badanych cech, tj. liczby ludności i powierzchni. Mapa zaś przedstawia strefy koncentracji, utworzone z różnej wielkości powierzchni zamieszkanych przez 20% ludności. Przy jej konstrukcji wykorzystuje się uprzednio utworzone szeregi kumulacyjne ludności i powierzchni. Strukturę mapy konstruuje się w ten sposób, by różnym odsetkom ludności odpowiadały określone wielkości powierzchni (ryc. 11).
Ryc. 11. Koncentracja ludności w 1910-1913 i w 1950 r. (Dziewoński, Kosiński 1967, s. 105)
Za pomocą tak utworzonego kartogramu można pokazać zarówno skali koncentracji (nierównomiernego rozmieszczenia) ludności na badanym obszarze, jak również zmiany stopnia koncentracji w poszczególnych okresach.
4. Metody i miary centrograficzne
Rozmieszczenie obiektów bądź osób, wykonane w postaci zbioru miejsc odwzorowanych w układzie współrzędnych prostokątnych, można opisać za pomocą konwencjonalnych miar statystycznych, stosowanych w analizie rozkładu wartości zjawisk jednocechowych, a więc na przykład za pomocą średniej arytmetycznej, mediany modalnej i momentów różnego rzędu. Miary te, zastosowane w badaniu rozkładów dwuwymiarowych (płaskich), oraz techniki rachunkowe i graficzne, służące do zlokalizowania ich wartości w zbiorze na płaszczyźnie, określane są mianem miar i metod centrograficznych.
W geografii miary te są jedną z odmian wskaźników syntetycznych, określających wskaźniki ludności. Są one użyteczne dla analiz porównawczych w czasie; mogą mieć także walor praktyczny, jeśli za ich pomocą określa się punkt centralny, dla którego „suma podróży” odbywanych przez całą ludność badanego obszaru sprowadzona jest do minimum.
Miar tych jest wiele. Łączy je to, że lokalizują one punkt, natomiast nie przypisują mu żadnej wartości. O rozpowszechnieniu tych miar bezpośrednio po pierwszej wojnie światowej świadczy fakt, że w Związku Radzieckim w 1926 r. powołano nawet Instytut Centrograficzny im. D.I. Mendelejewa. Natomiast w Stanach Zjednoczonych po każdym spisie obliczano punkt ciężkości ludności, przesuwający się ustawicznie na zachód. Podobne badania prowadzono też na Węgrzech i w Czechosłowacji.
Ryc. 12. Przesunięcia punktu ciężkości ludności Czechosłowacji w latach 1869-1961 (Haufler 1966, s. 110)
Najbardziej znaną i najczęściej używaną miarą centrograficzną jest środek ciężkości, zwany też środkiem grawitacyjnym, centroidem lub centrum ludności. W sensie statystycznym jest to odpowiednik średniej arytmetycznej. Centroidem rozmieszczenia jest miejsce, którego współrzędne (xc, yc)