Beispiel 17 (Zusammenfassung von Risiken im Kollektiv – Teil 3):
Umfasst das Versicherungskollektiv n = 4 Personen, so ergeben sich die Wahrscheinlichkeiten für x = 0, 1, 2, 3, 4 Schadenereignisse unter den in Beispiel 15 genannten Voraussetzungen (insbesondere p = 0,1) aus
In der Summe ergeben die Wahrscheinlichkeiten wieder 1 = 100 %. Auch bei Betrachtung von Tabelle 9 wird ersichtlich, dass sich die Wahrscheinlichkeiten für x = 0, 1, 2, 3, 4 Schadenereignisse aus der Multiplikation der Häufigkeit (Binomialkoeffizient) mit der Einzelwahrscheinlichkeit (letzte Spalte) ergeben.
Die Wahrscheinlichkeiten können sodann genutzt werden, um Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung pro Kopf im Kollektiv zu berechnen:
Wie bereits zuvor in Beispiel 14, liegt auch hier der erwartete Schaden pro Kopf unverändert bei 100 EUR. Die Varianz der Schadenhöhe pro Kopf ist jedoch im Vergleich mit dem 2-Personen-Kollektiv in Beispiel 14 deutlich gesunken. Auch die Standardabweichung pro Kopf liegt mit 150 EUR deutlich unter derjenigen aus Beispiel 14 (212 EUR).
Beispiel 18 (Zusammenfassung von Risiken im Kollektiv – Teil 4):
Das Versicherungskollektiv lässt sich beliebig vergrößern. Werden die zuvor getroffenen Annahmen beibehalten (Zufallsvorgänge mit lediglich zwei möglichen Ergebnissen [Schaden (1000 EUR)/kein Schaden], konstante Wahrscheinlichkeiten [p = 10 % und q = 90 %], Unabhängigkeit), so ergeben sich die in Tabelle 10 dargestellten Erwartungswerte, Varianzen und Standardabweichungen pro Kopf in Abhängigkeit der Kollektivgröße (n Personen).
Tab. 10: Erwartungswerte, Varianzen und Standardabweichungen pro Kopf in Abhängigkeit der Kollektivgröße n
Somit lässt sich festhalten: Die Zusammenfassung unabhängiger, identisch verteilter Risiken in einem Versicherungskollektiv senkt die Varianz und Standardabweichung der Schadenhöhe pro Kopf (bzw. pro Risiko), hat jedoch keine Auswirkung auf die erwartete Schadenhöhe pro Person (bzw. pro Risiko). Mit zunehmender Kollektivgröße wird die Streuung der Schadenhöhe pro Kopf um ihren Erwartungswert immer geringer, sodass die tatsächlich eintretenden Schäden tendenziell immer näher an den erwarteten Werten liegen. Im Kollektiv wird somit die Unsicherheit hinsichtlich der zukünftigen Schadenhöhe pro Person (bzw. pro Risiko) deutlich reduziert und damit beherrschbar. Letzteres funktioniert umso besser, je größer das Kollektiv ist.
Auf die gleiche Weise wie in den obigen Beispielen kann gezeigt werden, dass die Standardabweichung der Schadenhöhe pro Kopf (bzw. pro Risiko) auch dann sinken kann, wenn die Zufallsvariablen, welche die Schadenhöhen der Risiken beschreiben, die im Versicherungskollektiv zusammengefasst werden, nicht identisch verteilt sind. Also auch wenn die Personen (bzw. Risiken) im Versicherungskollektiv unterschiedliche Schadenwahrscheinlichkeiten und unterschiedliche Ausprägungen der Schadenhöhe aufweisen, kann es für die einzelnen Mitglieder im Kollektiv vorteilhaft sein, in diesem Kollektiv zu bleiben. Werden die Unterschiede jedoch zu groß, so ist anzunehmen, dass die »guten Risiken«, welche geringe Schadenwahrscheinlichkeiten und geringe Schadenhöhen aufweisen, das Kollektiv zugunsten anderer und für sie besserer Alternativen verlassen möchten.
Auch bei Aufhebung der Unabhängigkeitsannahme lässt sich zeigen, dass durch die Zusammenfassung von Risiken in einem Versicherungskollektiv die Standardabweichung der Schadenhöhe pro Kopf (bzw. pro Risiko) gesenkt werden kann. Wenn Abhängigkeiten zwischen den Risiken bestehen, wird die Standardabweichung pro Kopf allerdings nicht mehr so deutlich gesenkt wie im Fall der Unabhängigkeit. Am einfachsten lässt sich dies verdeutlichen, wenn man sich vergegenwärtigt, dass bei vollständig positivem Zusammenhang bei allen Risiken immer zur gleichen Zeit ein Schaden entstehen würde. Die Aufteilung des Schadens auf alle Personen im Kollektiv würde somit zu keiner Besserstellung der Kollektivmitglieder führen. Unter den vorherigen Annahmen wäre die Standardabweichung pro Kopf im Kollektiv die gleiche wie ohne Kollektivbildung.
1.5 Versicherungsprodukte und Prämienkalkulation
1.5.1 Produkte
Der wesentliche Kern eines Versicherungsproduktes ist das vom VU gegebene Versprechen, für den VN bei Eintritt eines bestimmten Ereignisses, eine Leistung zu erbringen. Es handelt sich somit um ein immaterielles Gut in Form eines bedingten Leistungsversprechens, dessen wesentliche Eigenschaften sich erst nach dem Eintritt des Versicherungsfalls beurteilen lassen und das deshalb auch zu den Erfahrungs- bzw. Vertrauensgütern gezählt wird. Erfahrungsgüter können erst nach ihrem Kauf und ihrer Verwendung beurteilt werden. Bei Vertrauensgütern lassen sich hingegen die entscheidenden Merkmale der Güter auch nach dem Kauf nicht objektiv beurteilen. Einige Dienstleistungen der Versicherer, wie bspw. manche Informations- und Beratungsleistungen, können bereits vor dem Schadenfall beurteilt werden. Die Leistung im Schadenfall lässt sich allerdings erst nach dessen Eintritt beurteilen. Versicherungsprodukte beinhalten oft eine Kombination verschiedener Dienstleistungen und sind daher häufig Mischungen aus Erfahrungs- und Vertrauensgütern.
Versicherungsprodukte können nach bestimmten Kriterien gruppiert werden. Beispielsweise nach den versicherten Gefahren (z. B. Feuer und Sturm) oder Schadenarten (z. B. Personenschäden, Sachschäden und Vermögensschäden). Die Zusammenfassung verschiedener Versicherungsgeschäfte und der damit verbundenen Produkte, die getrennt von anderen Versicherungsgeschäften in einer Rechtseinheit betrieben werden dürfen, führt zu sog. Versicherungssparten.13 »In Deutschland werden die Sparten Lebensversicherung, private Krankenversicherung und Schaden-/Unfallversicherung (synonym: Kompositversicherung), letztere als die Gesamtheit aller übrigen Versicherungszweige, unterschieden. Üblicherweise wird die Rückversicherung ebenfalls als eine Versicherungssparte bezeichnet«14.
Mit Lebensversicherungsprodukten können biometrische Risiken – also Risiken, die das Leben, den Tod und die damit verbundenen Kosten betreffen – eigenverantwortlich15 abgesichert werden. Typische Beispiele sind die Risikolebensversicherung, welche Bezugsberechtigten (meist den Hinterbliebenen) im Todesfall der versicherten Person eine Leistung verspricht, und die kapitalbildende Lebensversicherung, welche Leistungen sowohl im Fall des Todes der versicherten Person als auch im Fall ihres Erlebens eines zukünftigen Zeitpunktes zusagt. Ferner werden Berufsunfähigkeitsversicherungen und private Rentenversicherungen zu den Lebensversicherungsprodukten gezählt.
Krankenversicherungsprodukte bieten eine Absicherung gegen die mit einer Krankheit verbundenen finanziellen Risiken, welche insbesondere aus der Arbeitsunfähigkeit und dem damit verbundenen Ausfall des Arbeitseinkommens der betroffenen Personen, ihrer Pflegebedürftigkeit und den Kosten der Heilbehandlung resultieren. Beispiele für die private Krankenversicherung sind die Krankheitskostenversicherung, welche die Kosten der Heilbehandlung ersetzt, die Krankentagegeldversicherung, welche Geldzahlungen in Zeiten eines krankheitsbedingten Verdienstausfalls leistet, die Krankenhaustagegeldversicherung, welche Geldzahlungen in Zeiten einer erforderlichen, stationären Heilbehandlung verspricht, die Auslandskrankenversicherung, welche Kosten der Heilbehandlung im Ausland oder auch des Rücktransports in das Heimatland ersetzt, und die Pflegekosten- sowie Pflegetagegeldversicherung, welche Leistungen im Fall der Pflegebedürftigkeit bieten. Die private Krankenversicherung ist Gegenstand des zehnten Kapitels dieses Buches.
Die Produkte im Bereich der Schaden- und Unfallversicherung (Kompositversicherung) umfassen alle Produkte, die keine Lebensversicherungen und privaten Krankenversicherungen sind. Die wesentlichen Versicherungszweige in dieser Sparte sind:16