Die Standardabweichung der Schadenhöhe eines einzelnen Versicherungsnehmers ist daher
Betrachten wir nun die Situation in einem Versicherungskollektiv, welches lediglich aus den beiden Personen Lena und Paul besteht. Dabei ist zu beachten, dass im Kollektiv vier unterschiedliche Fälle auftreten können:
1. kein Schaden,
2. Schaden bei Lena,
3. Schaden bei Paul,
4. Schaden bei Lena und Paul.
Auch für das Versicherungskollektiv lässt sich eine Wahrscheinlichkeitsverteilung aufstellen:
Tab. 7: Wahrscheinlichkeitsverteilung der Schadenhöhe im Versicherungskollektiv (Lena und Paul)
Die Wahrscheinlichkeiten im Kollektiv ergeben sich aufgrund der Unabhängigkeit der Schadenereignisse durch Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse. Beispielsweise ergibt sich die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beide Versicherungsnehmer keinen Schaden haben aus 0,9 · 0,9 = 0,81; die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei Lena ein Schaden eintritt und bei Paul nicht aus 0,1 · 0,9 = 0,09; usw. In der Summe müssen sich die Wahrscheinlichkeiten auch hier wieder zu 1 addieren.
Die Schadenhöhe pro Kopf erhält man durch Division der Gesamtschadenhöhe durch die Anzahl der VN. Hat bspw. nur Paul einen Schaden erlitten, so entspricht sein Schaden dem Gesamtschaden im Kollektiv und die 1.000 Euro müssen durch zwei dividiert werden, um auf die Schadenhöhe pro Kopf in Höhe von 500 Euro zu kommen.
Für das Kollektiv lassen sich erneut Erwartungswerte, Varianzen und Standardabweichungen berechnen – einerseits für die Gesamtschadenhöhe und andererseits für die Schadenhöhe pro Kopf. Für die Gesamtschadenhöhe berechnen sich die Parameter wie folgt:
Im Kollektiv erhält man für die Schadenhöhe pro Kopf die folgenden Parameter:
Vergleichen wir nun die Parameter eines einzelnen Versicherungsnehmers vor der Kollektivbildung mit den Parametern pro Kopf nach der Kollektivbildung, so erkennen wir einerseits, dass sich der Erwartungswert nicht ändert – er bleibt bei 100 EUR pro Person – und andererseits, dass Varianz und Standardabweichung sinken. Während die Schadenhöhe bei Paul und Lena vor der Zusammenfassung im Versicherungskollektiv eine Standardabweichung von 300 EUR pro Person aufweist, ist sie nach der Zusammenfassung im Kollektiv auf 212 EUR pro Kopf reduziert. Die Streuung der Schadenhöhe pro Kopf um ihren Erwartungswert – und damit auch die Unsicherheit bezüglich der Abweichung der zukünftigen Schadenhöhe vom erwarteten Wert – wurde durch die Kollektivbildung also deutlich verringert.
Halten wir damit fest: Die Zusammenfassung von Risiken in einem Kollektiv führt zu einer Verringerung der Unsicherheit, weil die Streuung zukünftiger Schäden um ihren Erwartungswert – bei einer pro-Kopf-Betrachtung – sinkt.
Im Würfelbeispiel (Beispiel 13) hatten wir bereits gesehen, dass mit zunehmender Anzahl der Würfe die Abweichungen der Mittelwerte der beobachteten Würfe von ihren Erwartungswerten tendenziell immer kleiner wurden. Ausgehend von diesem Beispiel lässt sich bereits vermuten, dass mit zunehmender Zahl der Risiken im Kollektiv auch die Abweichungen der zukünftig auftretenden Schäden pro Kopf von den erwarteten Werten tendenziell kleiner werden. Um die Auswirkung einer Vergrößerung des Versicherungskollektivs beispielhaft zu veranschaulichen, betrachten wir im Folgenden ein Kollektiv mit vier Personen.
Beispiel 15 (Zusammenfassung von Risiken im Kollektiv – Teil 2):
Neben Lena (L) und Paul (P) versichern sich nun auch Maike (M) und Kai (K) gegen Unfälle, sodass unser Versicherungskollektiv jetzt vier Personen umfasst. Die Schadenhöhen der Versicherungsnehmer innerhalb des nächsten Jahres werden wieder als diskrete Zufallsvariablen, die zwei Ausprägungen (0 Euro und 1.000 Euro) annehmen können, beschrieben. Die Wahrscheinlichkeit für einen Unfall betrage weiterhin p = 10 % pro Person und Jahr. Mehr als ein Unfall pro Person und Jahr sei nicht möglich. Außerdem bestehe zwischen den Risiken der einzelnen Personen kein Zusammenhang, sodass die Zufallsvariablen, welche die Schadenhöhen beschreiben, unabhängig und identisch verteilt sind.
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung für Lena (L), Paul (P), Maike (M) und Kai (K) sieht somit wieder aus wie in den Tabellen 5 und 6:
Tab. 8: Wahrscheinlichkeitsverteilung der Schadenhöhe für Lena, Paul, Maike und Kai
Im Versicherungskollektiv können nun viele unterschiedliche Kombinationen von Schadenereignissen auftreten, die in Tabelle 9 überblicksartig zusammengefasst sind.
Tab. 9: Schadenereigniskombinationsmöglichkeiten für Lena (L), Paul (P), Maike (M) und Kai (K)
Befinden sich im Versicherungskollektiv vier Personen, so bestehen bereits 16 Schadenereigniskombinationsmöglichkeiten. Die Zahl der möglichen Ereignisse ist somit wesentlich größer als jene, die zuvor im Fall von zwei Personen in Tabelle 7 des Beispiels 14 dargestellt wurde.
In einem großen Versicherungskollektiv können in einem bestimmten Zeitraum – bspw. innerhalb eines Jahres – viele unterschiedliche Personen von einem Schadenereignis getroffen werden. Möchte man herausfinden, wie viele Möglichkeiten es gibt, dass in einer großen Gruppe von Personen eine bestimmte Anzahl dieser Personen einen Schaden erleidet, so handelt es sich dabei mathematisch um eine Problemstellung aus der Kombinatorik, bei der x Elemente (Personen mit Schaden) aus einer Menge von n verschiedenen Elementen (Versicherungskollektiv) – ohne Berücksichtigung der Anordnung – auszuwählen sind. Die Anzahl der Möglichkeiten, dass in einem Kollektiv aus n Personen x Personen von einem Schadenereignis getroffen werden, lässt sich daher mithilfe des Binomialkoeffizienten berechnen:
Beispiel 16 (Binomialkoeffizient):
Die Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten, bei denen aus einem Kollektiv von n = 4 Personen x = 2 Personen einen Schaden erleiden, ergibt sich aus
Dieses Ergebnis kann auch in Tabelle 9 in der Spalte »Häufigkeit« überprüft werden.
Ein Vorgang, der – wie in unserem Fall bei den einzelnen Personen in den Beispielen 14 und 15 – vom »Zufall« abhängig ist, der zu lediglich zwei möglichen Ergebnissen (hier: Schaden / kein Schaden) führt, konstante Wahrscheinlichkeiten (hier: p = 10 % und q = 90 %) aufweist und der von anderen Vorgängen dieser Art unabhängig ist, wird Bernoulli-Versuch genannt. Eine Folge von n solchen Vorgängen wird dann als Bernoulli-Experiment mit n einzelnen Versuchen bezeichnet. Die Wahrscheinlichkeiten für die Häufigkeit des Eintretens der Schadenereignisse können unter diesen Voraussetzungen mithilfe der Binomialverteilung12 berechnet werden.
Bezeichnet X die Zufallsvariable »Zahl der Schadenereignisse im Versicherungskollektiv pro Jahr«, welche die Ausprägungen x = 0, 1, 2, …, n annehmen kann, so lässt sich die Wahrscheinlichkeit, mit der die Ausprägung x eintritt, unter den im vorherigen Absatz genannten Voraussetzungen mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung bestimmen: