Die Frage ist nun, wie eine solche Zahl bestimmt werden soll, sodass man eine zuverlässige Wahrscheinlichkeitsaussage bezüglich des möglichen Eintritts eines Schadenereignisses erhält. Dafür gibt es im Wesentlichen drei Möglichkeiten: mittels Erfahrungswerten, mithilfe von Modellen und auf Basis subjektiver Schätzung.
Abb. 3: Wege der Ermittlung von Wahrscheinlichkeiten
Die Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten für Schadenereignisse mittels Erfahrungswerten – d. h. mit Schadendaten aus vergangenen Perioden – dürfte den in der Versicherungswirtschaft am häufigsten anzutreffenden und zumeist auch zuverlässigsten Weg darstellen. Dazu bildet man relative Häufigkeiten, indem man für eine vergangene Periode die Anzahl der Schadenfälle ins Verhältnis zu der Anzahl der möglichen Fälle setzt. Ein klassischer Fall wäre bspw. die Ermittlung der Sterbewahrscheinlichkeit in der Lebensversicherung.
Beispiel 6 (Bestimmung der Sterbewahrscheinlichkeit):
Bei einer sog. Risikolebensversicherung ist das relevante, negative Ereignis (der Versicherungsfall) der Tod der versicherten Person. Bei Eintreten des Versicherungsfalls zahlt das VU an die im Versicherungsvertrag begünstigte(n) Person(en) (z. B. die Familienangehörigen) einen bestimmten, festen Geldbetrag.
Um eine Aussage bezüglich der Wahrscheinlichkeit des Todes versicherter Personen zu erhalten, unterstellt die Versicherung, dass Sterbewahrscheinlichkeiten mithilfe des Alters und des Geschlechts einer versicherten Person adäquat geschätzt werden können. Um bspw. die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, dass ein 60-jähriger Mann vor dem Erreichen seines 61. Geburtstages stirbt, wird eine große Gruppe 60-jähriger Männer betrachtet und festgestellt, wie viele von ihnen vor dem Erreichen des 61. Geburtstages sterben. Wenn in einer Gruppe von 10.000 60-jährigen Männern z. B. 80 vor dem Erreichen ihres 61. Geburtstages sterben, so lässt sich aus diesen beiden Angaben eine relative Häufigkeit berechnen:
Wird nun zusätzlich unterstellt, dass sich dieses Verhältnis in der Zukunft nicht ändert, so lässt sich diese relative Häufigkeit als Wahrscheinlichkeit interpretieren, die eine Einschätzung zukünftiger Ereignisse erlaubt. Das VU wird somit annehmen, dass auch in zukünftigen Perioden in einer großen Gruppe 60-jähriger Männer im Mittel 0,8 % vor dem Erreichen ihres 61. Geburtstages sterben.
Die ermittelten Wahrscheinlichkeiten können zur Berechnung zukünftig erwarteter Schäden bzw. Leistungen des VU an die VN sowie zur Festlegung der Versicherungsprämie genutzt werden. Es kann jedoch sein, dass die Ermittlung der Wahrscheinlichkeiten mittels Erfahrungswerten aus vergangenen Perioden nicht in allen Fällen möglich ist. Insbesondere wenn Risiken aus dem Einsatz neuer Technologien resultieren, bei denen es noch keine umfangreichen Erfahrungswerte gibt, kann die zuvor beschriebene Methode zur Wahrscheinlichkeitsermittlung nicht angewandt werden. Beispielhaft können an dieser Stelle die Risiken aus dem Einsatz künstlicher Intelligenz, autonomer Fahrzeuge oder der Gentechnik genannt werden. Wenn solche Risiken versichert werden sollen, müssen die Schadeneintrittswahrscheinlichkeiten mithilfe einer anderen Methode bestimmt werden als der zuvor beschriebenen. Wie vorab dargelegt, verbleiben in diesem Fall im Wesentlichen zwei Alternativen: die Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten auf der Basis von Modellen oder subjektiven Einschätzungen.
Die Modelle der Finanz- und Versicherungswissenschaft lassen sich als gedankliche Hilfskonstruktionen auffassen, welche die logische Behandlung der Wirklichkeit auf vereinfachter Grundlage erlauben. Um einen versicherungsrelevanten Sachverhalt zu modellieren, muss letzterer somit zunächst vereinfacht werden, indem man von bestimmten, als wenig bedeutsam erachteten Details absieht. Sodann erfolgt eine mathematische Beschreibung der Sachlage, die eine Ableitung von Wahrscheinlichkeiten aus den zu Grunde liegenden Annahmen des Modells ermöglicht. Beispielsweise können Zahlungsausfälle oder Wetterereignisse mithilfe von Zufallsvariablen und stochastischen Prozessen beschrieben und Wahrscheinlichkeitsaussagen bezüglich des Eintritts eines Schadenereignisses daraus abgeleitet werden. Um zu realitätsnahen Annahmen zu kommen, sind jedoch auch hier Erfahrungswerte und Daten aus vergangenen Perioden hilfreich.
Die dritte Möglichkeit, Wahrscheinlichkeiten für versicherungswirtschaftliche Zwecke zu bestimmen, ist die subjektive Schätzung. Konkret kann es sich dabei um Aussagen von Experten handeln, die versuchen, ihr Wissen über einen relevanten Sachverhalt zur Einschätzung zukünftiger Ereignisse zu nutzen. Die so gewonnenen Wahrscheinlichkeiten sind folglich Vermutungen einer oder mehrerer Person(en) bezüglich der Zukunft, die in Form einer Zahl zwischen 0 und 1 den Grad der Überzeugung angeben, mit dem diese Person(en) von dem Eintritt dieser Ereignisse ausgehen. Dabei ist zu beachten, dass subjektive Einschätzungen aufgrund der persönlichen Umstände, der Informationslage und der kognitiven Fähigkeiten der schätzenden Personen von den tatsächlichen Begebenheiten abweichen können, sodass unrealistische Wahrscheinlichkeitsaussagen getroffen werden.
Beispiel 7 (Subjektive Wahrscheinlichkeit):
Ein Sicherheitsexperte schätzt, dass die Wahrscheinlichkeit eines Terroranschlags in einer bestimmten Großstadt in den nächsten zwölf Monaten bei 0,2 % liegt. Aufgrund fehlerhafter Informationen, die er vor der Schätzung zu dieser Thematik erhielt, wurde die Wahrscheinlichkeit jedoch zu niedrig eingeschätzt.
1.3.2 Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Eine Größe, deren Wert »vom Zufall« im zuvor beschriebenen Sinne abhängt, wird gewöhnlich als Zufallsvariable bezeichnet. Beispielsweise kann die Schadenhöhe, welche im Zusammenhang mit einem versicherten Ereignis entstehen kann, durch eine Zufallsvariable beschrieben werden.
Beispiel 8 (Hausbrand):
Der Wert eines Hauses, das gegen Feuer versichert wurde, betrage 500.000 EUR. Auf Basis von Vergangenheitswerten, welche die Versicherung über Gebäudebrände gesammelt hat, ermittelt sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten: Die Wahrscheinlichkeit für einen Brandschaden in Höhe von
• 125.000 EUR beträgt 1,0 %,
• 250.000 EUR beträgt 2,5 %,
• 375.000 EUR beträgt 1,0 %,
• 500.000 EUR beträgt 0,5 %.
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % kommt es zu keinem Brand und die Schadenhöhe beträgt somit 0 EUR.
Die Schadenhöhe in Beispiel 8 ist eine diskrete Zufallsvariable, weil sie nur eine endliche Anzahl von Werten (auch Ausprägungen oder Realisierungen genannt) annehmen kann.9 Zufallsvariablen werden üblicherweise mit Großbuchstaben (meist X, Y oder Z) bezeichnet. Die Funktion f, die jeder Ausprägung xi der Zufallsvariable X ihre Wahrscheinlichkeit zuordnet, wird Wahrscheinlichkeitsverteilung genannt.
Beispiel 9 (Wahrscheinlichkeitsverteilung):
In Fortsetzung von Beispiel 8 würde die Wahrscheinlichkeitsverteilung (die Funktion f), die jeder möglichen Schadenhöhe xi (Ausprägung der Zufallsvariable X) ihre Wahrscheinlichkeit (W(X = xi)) zuordnet, wie folgt aussehen:
Tab. 2: Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariable X (Schadenhöhe)
Der