5
Od siedmiu mostów do sześciu stopni
Początków formalnych badań nad sieciami można się doszukać w połowie XVIII wieku, u szczytu świetności miasta Königsberg (Królewiec) w ówczesnych Prusach Wschodnich, w domu niemieckiego filozofa Immanuela Kanta. Pośród wielu godnych uwagi budowli w tym mieście było też siedem mostów przecinających rzekę Pregołę i łączących zarówno jej oba nabrzeża z dwiema wyspami usytuowanymi na środku rzeki, jak i wyspy między sobą (zob. ilustracja 4). Mieszkańcy doskonale wiedzieli, że nie da się odbyć spaceru po wszystkich siedmiu mostach tak, by każdy przekroczyć tylko raz, bez wchodzenia ponownie na którykolwiek z nich[11*]. Problemem tym zainteresował się nawet wielki matematyk, pochodzący ze Szwajcarii Leonhard Euler, który w 1735 roku opracował teorię sieciową mającą formalnie wykazać, dlaczego tego rodzaju spacer był niewykonalny. Jak widzimy (zob. ilustracja 5), na tym uproszczonym schemacie (grafie) istnieją cztery „węzły” symbolizujące dwa brzegi rzeki oraz obie wyspy, mniejszą i większą, a ponadto siedem „krawędzi” symbolizujących mosty, którymi są one połączone. Euler wykazał, że z formalnego punktu widzenia możliwość wyznaczenia takiego przebiegu trasy, który z każdą z krawędzi pokrywa się tylko raz, zależy wprost od stopnia węzłów (to jest od liczby krawędzi dochodzących do i wychodzących z każdego z węzłów). Aby to się udało, na schemacie muszą widnieć albo dwa węzły z nieparzystą liczbą krawędzi, albo same tylko węzły z liczbą parzystą. A ponieważ na schemacie mostów w Königsbergu figurują cztery węzły z liczbą nieparzystą (jeden z pięcioma krawędziami, a pozostałe z trzema), nie da się na nim wytyczyć trasy poszukiwanej przez Eulera. Spacer, który wiódłby każdym z mostów tylko raz, byłby możliwy jedynie wówczas, gdyby usunięto jedną z krawędzi. A dokładniej – most łączący obie wyspy. W takim układzie pozostałyby dokładnie dwa węzły z nieparzystą liczbą krawędzi. Od czasów Eulera podstawy teorii grafów – którą on sam określał mianem „geometrii pozycyjnej” – niewiele się zmieniły: wciąż głównymi pojęciami są w niej węzły (albo wierzchołki) i krawędzie (albo połączenia).
4. Wykres 1 Eulera z jego Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis (1741). Ci, którzy chcieliby sprawdzić teorię Eulera w praktyce, niestety nie mogą już tego dokonać „na gruncie”, jako że dwa z siedmiu mostów królewieckich nie przetrwały bombardowań miasta w czasie II wojny światowej, a dwa kolejne zburzono po tym, jak miasto dostało się pod kontrolę Sowietów i zostało przemianowane na Kaliningrad.
Dziewiętnastowieczni uczeni stosowali tego rodzaju rozumowanie do wielu różnych schematów, począwszy od kartografii przez obwody elektryczne aż po izomery komponentów organicznych[1]. Koncepcja, że mogą istnieć także sieci s p o ł e c z n e, zaświtała niewątpliwie przynajmniej kilku z ówczesnych wielkich myślicieli politycznych, w tym zwłaszcza Johnowi Stuartowi Millowi, Auguste’owi Comte’owi i Alexisowi de Tocqueville – zwłaszcza ten ostatni dostrzegał jasno, że żywa tendencja do stowarzyszania się, obserwowana na wczesnym etapie rozwoju Stanów Zjednoczonych, była kluczowym składnikiem amerykańskiej demokracji. Żaden z nich nigdy jednak nie podjął próby sformalizowania tego rodzaju przemyśleń. Oficjalny początek badań nad sieciami społecznymi można zatem umiejscowić w 1900 roku, kiedy to pewien nauczyciel i miłośnik studiów społecznych nazwiskiem Johannes Delitsch opublikował schemat obrazujący przyjaźnie pomiędzy pięćdziesięcioma trzema chłopcami z klasy, którzy byli jego uczniami w latach 1880–1881[2]. Delitsch dostrzegł korelację między powiązaniami społecznymi poszczególnych chłopców a ich wynikami w nauce – co w ówczesnym świecie bezpośrednio przekładało się na sposób usadzenia uczniów w klasie. Trzy dekady później praca o podobnym charakterze powstała też w Nowym Jorku, gdzie pewien wywodzący się z Austrii, ale zdecydowanie antyfreudowski ekscentryczny psychiatra Jacob Moreno zastosował „socjogramy” (wykresy społeczne) do przestudiowania relacji w grupie dziewcząt, które weszły w konflikt z prawem, wskutek czego skierowano je wszystkie do szkoły poprawczej w Hudson, w stanie Nowy Jork. Jego studium – opublikowane w 1933 roku pod tytułem Who Shall Survive? (Komu dane będzie przetrwać?) – wykazało, że nagły wzrost liczby dziewcząt, które zbuntowały się i uciekły w 1932 roku, można było wyjaśnić, odwołując się do miejsca zajmowanego przez te dziewczęta w szkolnej sieci społecznej obrazującej ich „cechy atrakcyjne i odpychające”, zarówno pod względem rasowym, jak i seksualnym (zob. wklejka, il. 2). Jak stwierdził sam Moreno, właśnie tutaj należało szukać „sił społecznych, które dominują nad ludzkością”. Swoją książkę zaś uznał za „nową biblię, biblię zachowania społecznego, biblię społeczności ludzkich”[3].
5. Uproszczony graf obrazujący problem mostów królewieckich według Eulera. Problem ten można rozwiązać, jedynie usuwając krawędź środkową (most łączący dwie wyspy na ilustracji 4).
Trzydzieści lat później pewien lingwista i bibliograf nazwiskiem Eugene Garfield opracował podobną technikę graficzną służącą wizualizacji dziejów rozmaitych dyscyplin naukowych przez stworzenie swoistego „historiografu” cytatów. Dziś indeksy cytowań i wszelkie mierniki oddziaływania czyichś słów (impact factors) są niemal standardowymi narzędziami służącymi do zobrazowania skali osiągnięć jednostki w danej dziedzinie nauki. Są one także sposobem śledzenia procesu innowacji w świecie naukowym, umożliwiając choćby wykazanie istnienia „niewidzialnych uczelni”, to jest sieci wzajemnych cytowań, bardzo różnych od rzeczywistych uczelni zatrudniających większość ludzi nauki[4]. Ale też niewykluczone, że tego rodzaju wskaźniki pokazują co najwyżej, że naukowcy mają po prostu tendencję do cytowania prac tych naukowców, z którymi im po drodze. W końcu, jak głosi dobrze znane powiedzenie, ciągnie swój do swego. Tyle że prawidłowość odnosząca się do cytowań wydaje się prawdziwa również w znacznie bardziej ogólnym sensie. Jeśli dwa niepowiązane ze sobą węzły połączyć z jakimś trzecim, wówczas one same prędzej czy później również staną się powiązane, ponieważ (jak to ujął ekonomista James E. Rauch) „dwoje ludzi, którzy mnie znają, z większym prawdopodobieństwem pozna się też ze sobą niż dwoje ludzi wybranych zupełnie przypadkowo”[5]. Taką triadę, w której wszyscy trzej członkowie złączeni są pozytywnymi uczuciami, określa się zazwyczaj mianem „zbalansowanej”, co obrazuje prawidłowość „przyjaciel mojego przyjaciela jest moim przyjacielem”. Istnieją też inne rodzaje triad, w których dwóch członków nie zna się nawzajem, choć obaj znają trzeciego; nazywa się