Álgebra clásica. Gonzalo Masjuán Torres

otro lado, resulta:

      Problema 1.3.12 Demostrar que:

      ∀n ∈ : 83⁴ⁿ − 2 · 97²ⁿ + 1

      es divisible por 16.

       Solución:

      Para n = 1 83⁴ − 2 · 97² + 1 = 47.458.321 − 18818 + 1 = 47.439.504 = 16 · 2.964.969

      Se supone para n

      83⁴ⁿ − 2 · 97²ⁿ + 1

      es divisible por 16.

      Se demuestra para n + 1

      83^{4n + 4} − 2 · 97^{2n + 2} + 1

      es divisible por 16.

       Demostración:

      Problema 1.3.13 Demostrar que si n es impar, entonces 24 divide a:

      n(n² − 1)

       Solución:

      Para n = 1, que es impar

      1(1² − 1) = 0

      y 0 es divisible por 24.

      Se supone para n = 2m − 1

      (2m − 1)[(2m − 1)² − 1]= 4m(2m − 1)(m − 1)es divisible por 24.

      Se demuestra para n = 2m + 1 (2m + 1)[(2m + 1)² − 1]= 4m(2m + 1)(m + 1) es divisible por 24.

       Demostración:

      Problema 1.3.14 Demostrar que:

       Solución:

      Para n = 1

      Se supone para n

      Se demuestra para n + 1

       Demostración:

      luego:

      Problema 1.3.15 Demostrar que:

       Solución:

      Para n = 1

      Se supone para n

      Se demuestra para n + 1 que:

       Demostración:

      Pero:

      (96n² + 236n + 123) : (4n + 3) = 24n + 41 = 24(n + 1) + 17,

      o sea:

      (96n² + 236n + 123) = (4n + 3) · (24(n + 1) + 17). (1.2)

      De (1.1) y (1.2) se sigue el resultado, es decir:

      Problema 1.3.16 Sea f : → la función definida recursivamente por

      f (1) = 7, f (2) = 17, para n ≥ 3 (f (n) = 5f(n − 1) − 6f(n − 2)),

       demostrar que:

      f(n) = 2^{n + 1} + 3ⁿ.

       Solución:

      Para resolver este problema utilizaremos el principio inductivo. Pues bien, tenemos que probar que f(n) = 2^{n + 1} + 3ⁿ para todo n ∈ ; vemos que:

      f(1) = 2^{1 + 1} + 3¹ = 2² + 3 = 4 + 3 = 7

      f(2) = 2^{2 + 1} + 3² = 2³ + 3² = 8 + 9 = 17

      o sea, resultan los valores dados por medio de la definición recursiva. Suponemos entonces que:

      f(n) = 2^{n + 1} + 3ⁿ

      para los naturales 1, 2, 3, 4, ... , n.

      Deberemos establecer ahora que:

      f(n + 1) = 2^{n + 2} + 3^{n + 1}. (1.3)

      En efecto, a causa de la definición recursiva tenemos que:

      f(n + 1) = 5f(n) − 6f(n − 1) (1.4)

      y como:

      f(n) = 2^{n + 1} + 3ⁿ (1.5)

      f(n − 1) = 2n + 3ⁿ⁻¹. (1.6)

      De (1.4), (1.5) y (1.6) resulta:

      comparando (1.3) y (1.7) vemos que se obtiene lo pedido y por tanto:

      ∀ n ∈ f(n) = 2^{n + 1} + 3ⁿ.

      Problema 1.3.17 Sea f : → la función definida por:

      demostrar que f(n) = Скачать книгу