Álgebra clásica. Gonzalo Masjuán Torres

+ b₂ + ··· + bn > n,

      y por lo tanto, llegamos a:

      Para la segunda parte, consideremos los números ck = tomando k los valores k = 1, 2, 3, ··· , n. Otra vez resulta que todos los ck son positivos y si son todos iguales, el resultado es claro. Supondremos, entonces que no todos son iguales entre sí. A causa del resultado anterior, se obtiene:

      o sea:

      con lo que:

      Problema 1.3.20 Demostrar que:

       Solución:

      Considerando la desigualdad medio aritmético medio geométrico, demostrada en el anterior problema resuelto, tenemos que:

      Siendo x₁, x₂, ··· , xn, x_{n + 1} ∈ ⁺ (no todos iguales), entonces:

      en ella hacemos: x₁ = x₂ = ··· = xn = 1 + n , xn _{+ 1} = 1 se obtiene:

      o sea:

      lo que se deseaba.

      Problema 1.3.21 Sean a, b ∈ ⁺, n ∈ Nentonces:

      a < b ←→ an < bn.

       Solución:

       Parte (1)

      Supongamos que a < b; demostraremos por inducción que an < bn.

      Si n = 1 se tiene que an = a < b = bn.

      Supongamos ahora que an < bn, demostraremos que an ^{+ 1} < b^{n + 1}.

      Pues bien, se tiene:

      a^{n + 1} = an · a < bn · a < bn · b = b^{n + 1}.

      Por lo tanto, para todo par de reales positivos a, b y para todo natural n se cumple que:

      a < b → an < bn.

       Parte (2)

      Supongamos ahora que an < bn, entonces como a, b ∈ ⁺, se tiene que:

      a < b ∨ a = b ∨ a > b,

      ahora bien, si a = b, entonces an = bn lo que contradice que an < bn.

      Si b < a, entonces, por la primera parte resulta bn < an, lo que también contradice que an < bn.

      Se concluye entonces que a < b.

      Problema 1.3.22 Si an _{+ 1} = y 0 < a₁ < 3, demostrar que:

      a₁ < a₃ < a₅ < ··· , a₂ > a₄ > a₆ > ···

       Solución:

      (1) Tenemos que:

      además, resulta que:

      Supongamos a_2n−1 < 3, con ello:

      además, resulta que:

      (2) Ahora:

      Supongamos a₁ < a₃ < a₅ < ··· < a_2n−1, así:

      En conclusión, tenemos que:

      a₁ < a₃ < a₅ < ··· < a_2n−1 < a_{2n + 1} < ···

      (3) Por otra parte, se deduce que:

      Para el resto del problema, se procede por analogía.

1.4 Problemas propuestos

      Demostrar, utilizando inducción, los siguientes problemas:

      (1) 1 + 2 + 4 + ··· + 2ⁿ⁻¹ = 2^{n − 1}

      (2)

      (3)

      (4)

      (5)

      (6) Sea a₁ = 7, a₂ = 17, an = 5a_n−1 − 6a_n−2 para n ≥ 3, entonces: ∀n ∈ : an = 2^{n + 1} + 3ⁿ

      (7)

      (8)

      (9)

      (10)