Álgebra clásica. Gonzalo Masjuán Torres

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      sumando miembro a miembro estas dos igualdades y factorizando adecuadamente, se obtiene:

      1³ + 2³ + 3³ + ··· + n³ = .

       Nota:

      En el problema siguiente, haremos ver que esta fórmula es válida para todo número natural.

      Problema 1.3.6 Demostrar que:

      ∀n ∈ [1³ + 2³ + 3³ + ··· + n³ = .

       Solución:

      A causa de la similitud con los problemas anteriores, la demostración queda a cargo del lector.

      Problema 1.3.7 Demostrar que:

       Solución:

      Para n = 1 es evidente, pues:

      1 = 1².

      Suponemos el resultado válido hasta n, o sea:

      1 + 3 + 5 + ··· + (2n − 1) = n².

      Ahora deberemos probarlo para (n + 1), es decir:

      1 + 3 + 5 + ··· + (2n − 1) + (2n + 1) = (n + 1)².

      En efecto, se tiene:

      1 + 3 + 5 + ··· + (2n − 1) + (2n + 1) = n² + (2n + 1) = n² + 2n + 1 = (n + 1)².

      Problema 1.3.8 Demostrar que:

      ∀n ∈ [(x − y) es divisor de (xn − yn)].

       Solución:

      Para n = 1 es evidente, puesto que x − y es factor de x − y. Suponemos ahora que x − y es divisor de xn − yn; deberemos establecer que x − y es divisor de xn ^{+ 1} − yn ^{+ 1}.

      Si a xn ^{+ 1} − yn ^{+ 1} le restamos y sumamos xyn, conseguiremos:

      xn ^{+ 1} − yn ^{+ 1} = xn ^{+ 1} − xyn + xyn − yn ^{+ 1} = x(xn − yn) + yn(x − y).

      Como cada término de esta última expresión es divisible por x − y, también lo es xn ^{+ 1} − yn ^{+ 1}, lo que demuestra lo pedido.

      Problema 1.3.9 Si a₁ = a₂ = 1 y an + 1 = 3a_n + a_n−1 (n ≥ 2), entonces a_n y a_{n + 1} son primos relativos.

       Solución:

      Vemos que a₁ y a₂ son primos relativos. Aceptemos la propiedad hasta n y supongamos que an y an _{+ 1} no son primos relativos, o sea, existe el máximo común divisor entre an y a_n−1 y es MCD[an, an _{+ 1}] = d ≠ 1, es decir, an _{+ 1} = pd y an = qd y como an _{+ 1} = 3a_n + a_n−1 resulta pd = 3qd + a_n−1, luego a_n−1 = (p − 3q)d, MCD[an, a_n−1]= d ≠ 1, lo que es una contradicción, puesto que

      hemos aceptado que estos últimos son primos relativos.

      Problema 1.3.10 Sea n ∈ , se considera yn = (3 + )ⁿ + (3 − )ⁿ. Demostrar que:

      (1) yn _{+ 1} = 6yn _{− 4}yn₋₁.

      (2) yn es entero.

      (3) El siguiente entero mayor que (3 + )ⁿ es divisible por 2ⁿ.

       Solución:

       Para (1)

       Para (2)

      y₁ = (3 + ) + (3 − ) = 6 es entero.

      y₂ = (3 + )² + (3 − )² = 2(9 + 5) = 28 es entero.

      Supongamos que y₁, y₂, ·· · , yn son enteros; pues bien, como yn _{+ 1} = 6yn −4yn−1 se sigue que yn _{+ 1} es entero.

       Para (3)

      Si n = 1 el siguiente entero mayor que (3 + ) es 6, que es divisible por 2¹ = 2. Si n = 2, el siguiente entero mayor que (3 + )² es 28, que es divisible por 2² = 4. Ahora como (3 − )ⁿ es decimal (o sea ∈]0, 1[), se deduce que yn es el siguiente entero mayor que (3 + )ⁿ. Si yn es divisible por 2n e yn _{- 1} es divisible por 2ⁿ⁻¹, entonces por (1) se tendrá yn _{+ 1} = 6yn − 4yn _{- 1} = 6 · 2ⁿp − 4 · 2ⁿ⁻¹q = 2^{n + 1}(3_{p − q}).

      Problema 1.3.11 Si a₁ = −5, a₂ = −26 y

      ∀n ≥ 3 : an = 5a_n−1 − 6a_n−2 + 5 · 2ⁿ⁻²,

       entonces:

      ∀n ∈ : an = 3 · 2ⁿ − 2 · 3ⁿ − 5 · n · 2ⁿ⁻¹.

       Solución:

      En este caso se tiene:

      a₁ = 3 · 2 − 2 · 3 − 5 · 1 · 2⁰ = −5,

      y también:

      a₂ = 3 · 2²