Álgebra clásica. Gonzalo Masjuán Torres

      Sea p(n) una formula en n, entonces:

      [p(1) ∧ ∀n ∈ (p(n) → p(n + 1))] → ∀n ∈ (p(n)).

       Nota:

      Tenemos:

      2 + 4 + 6 + ⋯ 2n = 2(1 + 2 + 3 + ⋯ + n),

      ahora bien, veremos en el problema resuelto [1.3.2] que:

      1 + 2 + 3 + ⋯ + n = ,

      con lo que:

      2 + 4 + 6 + ⋯ + 2n = 2(1 + 2 + 3 + ⋯ + n) = 2 · = n(n + 1) = n² + n ≠ n² + n + 1,

      sin embargo, si consideramos la proposición falsa:

      2 + 4 + 6 + ⋯ + 2 n = n² + n + 1,

      como verdadera para n, sumando (2n + 2) a cada lado de ésta, se cumple que:

      2 + 4 + 6 + ⋯ + 2 n + (2n + 2) = n² + n + 1 + (2n + 2) =

      = n² + 2n + 1 + n + 1 + 1 = (n + 1)² + (n + 1) + 1,

      vemos que se satisface la hipótesis inductiva. No se puede tener la igualdad para un primer n, por ejemplo, para 1, 2, etc.

      Al no cumplirse para n = 1, 2, 3, · · · no podemos concluir que es falsa, pues podría ser verdadera por ejemplo para n = 2789341.

       Nota:

      El siguiente resultado es equivalente con el primer principio de inducción y proposición el metodo para resolver aquellos casos en que se desea demostrar inductivamente una propiedad p(n) no necesariamente para todo natural n, sino que para aquellos n mayores o iguales a algún natural a.

      Teorema 1.2.1 Sea n₀ ∈ , p(n) una fórmula que contiene a n, entonces:

      [p(n₀) ∧ ∀n ∈ ((n ≥ n₀ ∧ p(n) → p(n + 1))] → ∀n ∈ (n ≥ n₀) p(n).

       Demostración:

      Si n₀ = 1 se tiene el primer principio de induccion y el teorema es cierto. Consideremos, entonces para n₀ ∈ el conjunto:

      I₁ = {n ∈ | (n ≥ n₀ → p(n)} .

      Haremos ver que I₁ es un conjunto inductivo.

      En primer lugar, tenemos que 1 ∈ I₁ puesto que:

      (i) Si 1 ≥ n₀ , entonces n₀ = 1 y, por hipótesis, se tiene que p(n₀ ) es verdad, luego, p(1) es verdadero y 1 ∈ I₁.

      (ii) Si 1 n₀, entonces 1 ≥ n₀ → p(1) es verdad, porque el antecedente es falso, luego 1 ∈ I₁.

      Tomemos ahora n ∈ I₁, entonces n ∈ y n ≥ n₀ → p(n), luego tenemos que (n + 1) ∈ y se presentan dos casos:

      (i) Si n ≥ n₀, entonces n + 1 ≥ n₀ + 1, luego n ∈ I₁ y n ≥ n₀, entonces p(n) es verdad y, por la hipótesis del teorema, p(n + 1) es verdad, por lo tanto, (n + 1 ≥ n₀ → p(n + 1)). Luego (n + 1) ∈ I₁.

      (ii) Si n n₀ se tiene n < n₀ y, por lo tanto (n + 1) ≤ n₀; luego:

      (a) Si (n + 1) = n₀, entonces como p(n₀) es verdad por hipótesis se tendrá que (n + 1) ∈ I₁.

      (b) Si (n + 1) < n₀, entonces (n + 1 ≥ n₀ → p(n + 1) es verdad porque su antecedente es falso, por lo tanto, (n + 1) ∈ I₁.

      Hemos demostrado que I₁ es un conjunto inductivo con lo que ⊆ I₁, o sea ∀n ∈ (n ∈ I₁), o mejor ∀n ∈ (n ≥ n₀) p(n).

1.2.2 Segundo principio de inducción

      El enunciado de este principio es el siguiente:

      Sea p(n) una fórmula en n y n₀ ∈ , entonces:

      (i)

      [p(n₀) ∧ ∀n ∈ [(n > n₀) (p(n₀) ∧ p(n₀ + 1) ∧ · · · ∧ p(n)) → p(n + 1)]]

      ↓

      ∀n ∈ ((n > n₀) p(n)).

      (ii)

      [p(1) ∧ ∀n ∈ [(p(1) ∧ p(2) ∧ ··· ∧ p(n)) → p(n + 1)]] → ∀n ∈ ( p(n)).

       Nota:

      Es claro que (ii) es un caso particular de (i).

1.2.3 Otros conceptos

      A causa de lo que estudiaremos con posterioridad, es necesario entregar algunas definiciones inductivas; éstas son:

      Definición 1.2.1 Sea n ∈ se define la función factorial (!) del modo siguiente:

      1!