Nuevamente utilizaremos el principio inductivo. Tenemos:
Suponemos la validez de la tesis del problema para 1, 2, 3, ... , n, o sea que:
Deberemos probar que:
Procedamos, del enunciado tenemos que:
o sea:
de donde:
De (1.8) y (1.9) observamos que se obtiene lo pedido y por lo tanto:
Problema 1.3.18 Sean a1, a2, ··· , an ∈ + , no todos iguales a 1 y tales que a1 · a2 · ·· an = 1, entonces:
∀n ∈ (a1 + a2 + ··· + an > n).
Solución:
Ocuparemos el principio de inducción.
Sean a1, a2 ∈ + , no ambos iguales a 1 y tales que a1 · a2 = 1. Como uno de ellos no es 1, no se pierde generalidad al suponer a1 ≠ 1 y como a2 =
, se tiene tambien a2 ≠ 1. Como ambos son positivos, uno de ellos es mayor que 1 y el otro menor que 1; puesto que si ambos fueren menores que 1, su producto sería menor que 1 (el argumento es similar, si ambos fueran mayores que 1). Supongamos entonces que a1 < 1 y a2 > 1, luego:
a2 − 1 > 0 y 1 − a1 > 0,
por lo tanto, se consigue:
(a2 − 1)(1 − a1) > 0,
con lo que:
a2 + a1 − 1 − a1 · a2 > 0, (1.10)
es decir:
a1 + a2 > 1 + a1 · a2 = 2.
Supongamos ahora que la proposición es verdadera para cualquier colección de n números reales positivos.
Sean a1, a2, ··· , an, an + 1 ∈ +, (n + 1) números que cumplen con las hipótesis de la proposición, queremos demostrar que:
a1 + a2 + ··· + an + an + 1 > n + 1 .
Como no todos ellos son iguales a 1 y el producto de todos ellos es 1, debe haber alguno mayor que 1 y otro menor que 1. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer a1 < 1 y a2 > 1 y sea a = a1 · a2.
Ahora tomemos los n números reales positivos:
a, a3, a4, ··· , an, an + 1,
Si todos ellos fueran iguales a 1 tendríamos:
a + a3 + a4 + ··· + an + an + 1 = n,
pero, por (1.10):
a = a1 · a2 < a1 + a2 − 1,
luego:
n = a + a3 + a4 + ··· + an + an + 1 < a1 + a2 − 1 + ··· + an + an + 1 ,
y, por lo tanto, resulta:
a1 + a2 + ··· + an + an + 1 > n + 1 .
Si este no es el caso, entonces no todos son iguales a 1 y por hipótesis inductiva se tendría que:
a + a3 + a4 + ··· + an + an + 1 > n,
y, al usar nuevamente (1.10), se llega a que:
a1 + a2 + ··· + an + an + 1 > n + 1.
Con lo que el problema queda resuelto.
Definición 1.3.1 (1) Sean a1, a2, ··· , an ∈ se define el medio aritmético entre ellos como:
(2) Sean a1, a2, ··· , an ∈ + se define el medio geométrico entre ellos como:
(3) Sean a1, a2, ··· , an ∈ − {0} se define el medio armónico entre ellos como:
Problema 1.3.19 Sean a1, a2, · ·· , an ∈ +, entonces:
Solución:
Si a1, a2, ··· , an ∈ + son todos iguales la respuesta es evidente, pues los medios serán iguales. Entonces nos pondremos en el caso en que no todos son iguales entre sí.
Sea bk = para k = 1, 2, 3, ··· , n. Como g y ak son positivos resulta bk positivo, además no todos son iguales entre sí porque los ak no lo son, luego, en particular, no pueden ser todos iguales a 1. Por otro lado:
en