Álgebra clásica. Gonzalo Masjuán Torres

1.2.2 Sea f : → , se define la sumatoria desde k = 1 hasta k = n de los f (k) del modo siguiente:

      Definición 1.2.3 Sea f : → , se define la productoria desde k = 1 hasta k = n de los f (k) del modo siguiente:

      Definición 1.2.4 Sea p ∈ diremos que p es un número primo si:

      ∀n ∈ ∀m ∈ (p = n · m → (n = 1 ∨ m = 1).

      Definición 1.2.5 Sean p, q ∈ diremos que p y q son primos relativos si:

      (∀r ∈ )(∀s ∈ )(∀t ∈ )[(p = r · s ∧ q = r · t) → (r = 1 ∨ r = −1)],

      es decir, si el MCD(p, q) = 1

      A continuación pasaremos a aplicar los principios de inducción resolviendo algunos problemas.

1.3 Problemas resueltos

      Problema 1.3.1 Para el natural fijo n, calcular la suma:

      S = 1 + 2 + 3 + ·· · + n.

       Solución:

      Se tiene:

      y sumando miembro a miembro estas dos igualdades, se obtiene:

      2S = (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + ·· · + (n + 1),

      o sea:

      2S = n(n + 1),

      de donde:

      S = 1 + 2 + 3 + ··· + n = ,

      que es el resultado pedido.

       Nota:

      En el problema siguiente, haremos ver que esta fórmula es válida para todo número natural.

      Problema 1.3.2 Demostrar que:

       Solución:

      Consideramos el conjunto:

      haremos ver que este conjunto I es inductivo.

      Que n = 1 ∈ I es evidente, pues:

      Suponemos válido que n ∈ I, o sea:

      Ahora deberemos probar que (n + 1) ∈ I, es decir:

      En efecto, se tiene:

      por lo tanto I es un conjunto inductivo. Esto quiere decir que:

      Problema 1.3.3 Para el natural fijo n, calcular la suma:

      S = 1² + 2² + 3² + ··· + n².

       Solución:

      Se tiene:

      y sumando miembro a miembro estas dos igualdades, se obtiene:

      (n + 1)³ − 1 = 3(1² + 2² + 3² + ··· + n²) + 3(1 + 2 + 3 + ··· + n) + n,

      o sea:

      3(1² + 2² + 3² + ··· + n²) = (n + 1)³ − (n + 1) − ,

      de donde se consigue:

      por consiguiente:

       Notas:

      (1) En el problema siguiente, haremos ver que esta fórmula es válida para todo número natural.

      (2) En lo sucesivo, por comodidad, no escribiremos en las soluciones siguientes el conjunto I (que deberá establecerse que es inductivo); sólo probaremos para n = 1, aceptaremos para n y demostraremos para n + 1.

      Problema 1.3.4 Demostrar que:

       Solución:

      Para n = 1 es evidente, pues:

      Suponemos el resultado válido hasta n, o sea:

      Ahora deberemos probarlo para (n + 1), es decir:

      En efecto, se tiene:

      Problema 1.3.5 Para el natural fijo n, calcular la suma:

      S = 1³ + 2³ + 3³ + · ·· + n³.