Wenn etwas mit sich selbst in Widersprüche gerät und logisch nicht erlaubt ist, dann ist es nicht nur in unserem Universum unmöglich, es kann nicht einmal in unserem Denken Gestalt annehmen. Man könnte das sogar als Definition der Mathematik betrachten: Mathematik untersucht, was sich alles denken lässt. Nicht alles, was die Mathematik als möglich erweist, ist in unserer Welt auch tatsächlich der Fall. Doch was der Mathematik widerspricht, kann nicht wahr sein. Die Mathematik ist die Wissenschaft des Denkmöglichen.
Axiome: Wo das richtige Denken beginnt
Das macht die Mathematik zu einer wunderbar menschheitsverbindenden Sache: Es spielt keine Rolle, aus welchem Kulturkreis wir kommen. Es ist egal, welche politischen Ansichten wir haben, welche Sprache wir sprechen oder welche Schriftzeichen wir benutzen. Über mathematische Aussagen können wir uns einigen. Und aus jeder mathematischen Aussage lassen sich nach den Gesetzen der Mathematik wieder andere mathematische Aussagen ableiten, über die wir uns dann ebenso einig sind. An verlässliche Wahrheiten können wir immer weitere verlässliche Wahrheiten anbinden, und so knüpfen wir Schritt für Schritt ein großes Netz an Wahrheiten, an denen niemand zweifeln kann.
Wenn wir das tun, müssen wir allerdings auch fragen: Woran ist das ganze Netz eigentlich befestigt? Welche Wahrheiten stehen ganz am Anfang? Gibt es Grundwahrheiten, auf die sich alles andere logisch zurückführen lässt? Kinder lernen das oft schon im Alter von zwei oder drei Jahren: Man kann immer „Warum?“ fragen und für die Begründung dann wieder eine Begründung fordern: Warum darf der Hamster nicht mit in die Badewanne? Warum kann er ertrinken? Warum ist es schlimm, wenn sich die Hamsterlunge mit Wasser füllt? Warum braucht der Hamster Sauerstoff? Irgendwann muss diese Fragenkette enden, irgendwann geben selbst die geduldigsten Eltern auf und sagen: Das musst du mir jetzt einfach glauben, das ist einfach so.
In der Wissenschaft ist das ähnlich. Wir führen unsere Erkenntnisse auf Grundannahmen zurück, die sich irgendwann nicht weiter begründen lassen – oft nennt man sie „Axiome“. Ein gutes Axiom ist so klar und einfach, dass es jeder als Wahrheit akzeptieren wird. Wenn niemand mehr das Bedürfnis verspürt, „Warum?“ zu fragen, weil man bei etwas offensichtlich Wahrem angekommen ist, dann hat man ein solides Fundament gefunden, auf dem man weitere Argumente aufbauen kann.
Solche Axiome, solche verlässlichen Grundwahrheiten, spielen in der Mathematik eine besonders wichtige Rolle. Eines der bedeutendsten Werke der gesamten Wissenschaftsgeschichte schrieb der griechische Mathematiker Euklid um das Jahr 300 v. Chr. – die Elemente. Euklid wollte das damalige Wissen über Geometrie und Zahlenkunde in eine schlüssige, logische Form bringen. Seither haben sich fast alle Aspekte des menschlichen Lebens verändert. Über Politik, über Moral oder über den Aufbau des Universums denken wir heute völlig anders als die Menschen zu Euklids Zeiten. Aber die Wahrheiten über Punkte, Linien, Kreise oder Dreiecke, die Euklid in den Elementen zusammenfasste, gelten heute noch genauso wie damals. Sie sind unveränderlich wahr – auch wenn andere Leute seither noch auf andere, kompliziertere Wahrheiten gestoßen sind.
So wie man beim Hausbauen damit beginnt, ein solides Fundament zu errichten, fängt Euklid in seinen Elementen zunächst mit den wichtigen Definitionen und Axiomen an: Eine Linie ist eine Länge ohne Breite. Alle rechten Winkel sind gleich groß. Von jedem Punkt kann man zu jedem anderen Punkt eine Linie ziehen. Das erscheint alles so klar, dass es keine weitere Begründung benötigt. Und diese fundamentalen Grundsätze benutzt Euklid dann, um Schritt für Schritt eine Geometrie zu entwickeln: Er erklärt, wie man ein gleichseitiges Dreieck konstruiert. Er beschreibt, wie man Winkel oder Strecken halbiert. Er beweist, dass in jedem Dreieck die längste Seite dem größten Winkel gegenüberliegt.
So schrieb Euklid ein Werk mit fast poetischem Zauber. Die Reihenfolge der Beweise ist klug durchdacht, sodass Euklid in jedem Schritt ausschließlich auf Erkenntnisse zurückgreift, die er vorher schon präsentiert hat. Wie man beim Hausbauen eine Ziegelreihe auf die andere schichtet, fügt Euklid Satz auf Satz, bis eine kunstvolle Struktur aus unbestreitbaren mathematischen Wahrheiten entsteht.
Die allerersten Aussagen erscheinen vielleicht simpel und nicht besonders nützlich. Die banale Feststellung, dass man zwei Punkte mit einer Linie verbinden kann, gibt uns noch nicht das Gefühl, wirklich etwas Neues gelernt zu haben. Doch mit wenigen Schritten gelingt es Euklid, solche einfachen Grundwahrheiten zu wichtigen Lehrsätzen zusammenzufügen, die wir aus der Schule kennen, etwa den Satz des Pythagoras. Bis in die Neuzeit blieben Euklids Elemente das wichtigste und meistverbreitete wissenschaftliche Lehrbuch der Welt.
Von null bis unendlich
Wenn die Methode des logischen Schließens auf der Basis von unbezweifelbaren Axiomen in der Geometrie so gut funktioniert, dann ist es doch verlockend, dasselbe auch anderswo auszuprobieren. Genau das versuchte der italienische Mathematiker Giuseppe Peano. Er suchte nach einer soliden, logischen Basis für die Theorie der natürlichen Zahlen. Das klingt zunächst vielleicht seltsam – wozu brauchen die natürlichen Zahlen überhaupt eine Theorie? Sind die nicht einfach da? Sind die nicht völlig selbstverständlich?
Schon als kleine Kinder haben wir begriffen, wie die natürlichen Zahlen funktionieren: Vier Teddybären in der Badewanne und vier Schokoflecken auf Omas Sofa sind sehr unterschiedliche Dinge, aber sie haben etwas gemeinsam – es sind jeweils vier. Sie teilen sich die Eigenschaft der Vierheit. Es gibt Wörter für die Anzahl von etwas. Die Anzahl wovon? Das spielt keine Rolle.
Wenn man das verstanden hat, ist der Rest einfach: Man malt einen Schokofleck aufs Sofa, dann zwei, dann drei. Man kann immer noch einen weiteren Fleck dazumalen. Und wenn der Sofabezug dann aus der Reinigung zurückkommt, hat er null Schokoflecken – mit der Null haben wir ein ganz besonderes Zahlwort, das die Anzahl von gar nichts beschreibt.
Der Umgang mit diesen natürlichen Zahlen ist uns so vertraut, dass wir kaum darüber nachdenken, was die natürlichen Zahlen überhaupt ausmacht. Warum können wir uns auf sie verlassen? Welche Eigenschaft muss ein Gedanke eigentlich haben, damit wir ihn „natürliche Zahl“ nennen können? Giuseppe Peano konnte im Jahr 1889 zeigen, dass man mit fünf einfachen Axiomen eine Theorie der natürlichen Zahlen bauen kann. Diese berühmt gewordenen fünf Peano-Axiome gehören zu den klarsten, fundamentalsten Wahrheiten, die man in der Wissenschaft finden kann.
Das erste Axiom legt eigentlich bloß einen Namen fest: „Null ist eine natürliche Zahl.“ Das zweite Axiom sagt bereits etwas Wichtiges über die Struktur der Zahlen aus: „Jede natürliche Zahl hat eine natürliche Zahl als Nachfolger.“ Auf diesen Nachfolger kann man dann natürlich gleich dieselbe Regel anwenden, auch diese Zahl muss wieder eine natürliche Zahl als Nachfolger haben. Das bedeutet, dass es eine Kette natürlicher Zahlen gibt, die keinen Endpunkt hat. Aber wie sieht diese Kette aus? Das dritte Axiom sagt: „Null ist nicht der Nachfolger einer natürlichen Zahl.“ Die Null spielt also eine Sonderrolle: Sie ist der Anfangspunkt der Kette.
Auch mit dem vierten Axiom lernen wir wieder etwas Bedeutendes über die Struktur unserer Zahlenkette dazu: „Natürliche Zahlen mit gleichem Nachfolger sind gleich.“ Wenn also die Acht nach der Sieben kommt, bedeutet das, dass es keine andere Zahl gibt, nach der die Acht an der Reihe ist. Das ist wichtig, denn sonst könnte es sein, dass nach der Elf wieder die Acht kommt, die Zahlenreihe somit in sich selbst zurückgeführt wird und es außer den Zahlen von null bis elf keine weiteren Zahlen mehr gibt.
Die Zahlenkette darf also keine inneren Kreise oder Verknotungen haben, sie ist eine ordentlich aufgefädelte Reihe, in der eine Zahl auf die andere folgt. Nun wissen wir auch, dass die Kette niemals aufhört – es muss unendlich viele Zahlen geben. Das fünfte und letzte Axiom stellt noch sicher, dass die natürlichen Zahlen die kleinste Menge sind, für die diese Aussagen gelten. Damit wird ausgeschlossen, dass neben den natürlichen Zahlen, wie wir sie kennen, zusätzlich noch weitere natürliche Zahlen herumliegen, die von unserer unendlichen Zahlenkette niemals erreicht werden.
Auf diese Grundsätze können wir uns alle einigen. Und auf dieser Basis lässt sich