Ejemplo 1.7
Descomponer la fuerza P en las direcciones AC y BC para determinar los esfuerzos en las barras correspondientes. Para esta construcción se adopta una escala como la indicada en la figura en que una cierta longitud representa a tantas unidades de fuerza. Notar que la solución implica que la barra BC queda sometida a un esfuerzo interno de tracción, mientras la barra AC experimenta compresión.
Figura E1.7
Ejemplo 1.8
Determinar la resultante del sistema de cinco fuerzas concurrentes que se muestra en la Fig. E1.8.a
Figura E1.8.a
Solución: Los cálculos de las componentes x e y de cada una de las fuerzas se organizan en la Tabla siguiente. Notar que los signos negativos indican componentes que tienen el sentido negativo de los ejes de referencia.
Figura E1.8.b
La suma de las proyecciones de las fuerzas sobre el eje x es la componente Px de la resultante, y análogamente Py para el eje y. La resultante P, según la Ec. 1-23, tiene magnitud (Fig. E1.8.b):
y su dirección queda dada por el ángulo β:
Notar que en la fórmula anterior se usó el valor absoluto de Py ya que no se está utilizando el signo trigonométrico del ángulo β sino sólo su magnitud.
1.4.5 El Polígono Funicular
El procedimiento indicado en la Sección 1.4.2 para determinar la resultante de un sistema de fuerzas no concurrentes (Fig. 1.17), que consiste en la aplicación sucesiva de las leyes de transmisibilidad y del paralelogramo, puede reemplazarse por una construcción más conveniente, el polígono funicular, que también es aplicable al caso de un sistema de fuerzas paralelas. Además de ser una solución alternativa para los casos señalados, la mayor importancia de esta construcción radica en que permite profundizar algunos aspectos conceptuales del trabajo con sistemas de fuerzas, y en que ayudará a comprender el funcionamiento de una forma estructural muy notable en la historia de la arquitectura: el arco.
Figura 1.25.a Polígono Funicular
Figura 1.25.b Polígono de Fuerzas
Sea un sistema de fuerzas coplanares que actúan sobre un cuerpo rígido, tales como P1, P2, P3 y P4 en la Fig. 1.25.a. Las etapas de la construcción del polígono funicular son las siguientes:
a) Primero se construye el polígono de fuerzas, ABCDE en la Fig. 1.25.b, con el cual se determina la magnitud y dirección de la resultante R, pero no se conoce la posición precisa de su línea de acción.
b) Se escoge un punto arbitrario en el plano, tal como el punto O en la Fig. 1.25.b, que se denomina foco o polo. Desde el foco se trazan los rayos OA, OB, OC, OD, y OE a los extremos de las fuerzas P1 a P4.
c) Se escoge arbitrariamente un punto de arranque, a partir del cual se comenzará a construir el polígono funicular. Este es el punto So en la Fig. 1.25.a.
d) Pasando por So se traza una recta paralela al rayo OA, hasta interceptar la fuerza P1 en el punto S1; la recta trazada constituye el primer lado del polígono funicular. Pasando por S1 se traza una recta paralela al rayo OB, hasta interceptar la fuerza P2; la recta S1S2 constituye el segundo lado del polígono funicular. Y así, sucesivamente, trazando paralelas a OC, OD y OE se obtienen los lados S2S3, S3S4, y a partir de S4 el último lado del polígono funicular.
e) El punto Q, intersección de la prolongación del primer y del último lado del polígono funicular, es un punto de la línea de acción de la resultante R, quedando ésta totalmente determinada. Se tiene entonces que
La calificación de “funicular” dada al polígono se debe a que tiene la forma que adoptaría un hilo sin peso, sujeto en sus extremos (puntos So y S5), al ser sometido a las fuerzas P1, P2, P3 y P4 actuando en los puntos S1, S2, S3 y S4. Claramente dicho hilo se encontraría sometido a un esfuerzo de tracción en toda su longitud.
La analogía con el hilo facilitará explicar el fundamento de la construcción anterior. Para ello, se reconstruirá la Fig. 1.25 indagando sobre el equilibrio parcial de cada una de las fuerzas Pi dadas. Observando el polígono de fuerzas de la Fig. 1.26.b, y recordando que el punto O fue arbitrariamente elegido, se puede pensar que los rayos BO y OA(con sentido de B hacia O y de O hacia A) representan dos fuerzas arbitrarias F2 y F1 respectivamente que tienen la propiedad de equilibrar a la fuerza P1; esto último porque el polígono OABO de las 3 fuerzas P1, F1 y F2 es cerrado, es decir su resultante es nula. Puede pensarse entonces que el primer y segundo lado del polígono de la Fig. 1.26.a corresponden a fuerzas de tracción F1 y F2 en el hilo que equilibran a la fuerza P1. Análogamente, la fuerza P2 en la Fig. 1.26.b está en equilibrio con las fuerzas arbitrarias F3 (con sentido de C hacia O) y F2 (con sentido de O hacia B), ya que el polígono OBCO es cerrado; las paralelas a OB y CO, es decir los lados segundo y tercero del polígono funicular de la Fig. 1.26.a corresponden a las fuerzas de tracción F2 y F3 en el hilo necesarias para equilibrar a la fuerza P2. Así, sucesivamente, las fuerzas F3 y F4 equilibran a P3, y F4 y F5 equilibran a P4. Ahora bien, observando la Fig. 1.26.a, se aprecia que la fuerza F2, que participa en el equilibrio de P1, y la fuerza F2, que participa en el equilibrio de P2, se autoequilibran, ya que constituyen el segundo lado, o hilo continuo, del funicular; análogamente ocurre con las fuerzas F3 asociadas al tercer lado y F4 asociadas al cuarto lado.
En resumen, el primer tramo del hilo ejerce una fuerza F1, que es la fuerza que debería realizar una persona que sostuviera el hilo desde el punto So, y el último tramo del hilo ejerce una fuerza F5, que habría que ejercer externamente para sostenerlo desde el punto S5. Por supuesto si F1 y F5 equilibran al conjunto de fuerzas P1, P2, P3 y P4, ellas equilibran a su resultante R, y por lo tanto R pasa por el punto de intersección de las líneas de acción de F1 y F5; tal equilibrio también queda explícito en el polígono de fuerzas (Fig. 1.26.b), donde F1, R y F5 constituyen un polígono cerrado (OAEO), o sea,
En los lados 2o, 3o y 4o el hilo experimenta esfuerzos internos de tracción de magnitud F2, F3 y F4 respectivamente.
Como