Las construcciones geométricas anteriores no son factibles si las fuerzas son paralelas. En tal caso se puede proceder mediante la construcción del Polígono Funicular, que se verá en la Sección 1.4.5, pero también es posible utilizar el concepto de centro de gravedad, como se describe a continuación. Sean varias fuerzas coplanares paralelas P1, P2, P3 y P4, como ilustra la Fig. 1.18, y sean x1, x2, x3, y x4 sus distancias a un origen de referencia O. La resultante de este sistema tiene magnitud R igual a la suma de las magnitudes de las fuerzas dadas:
y su línea de acción pasa por el punto de coordenada x* tal que (Ec. 1-10):
La regla anterior funciona incluso si algunas fuerzas tienen sentido contrario. El caso especial en que la suma algebraica de las magnitudes de las fuerzas es nula, i.e. x*=∞, se interpretará físicamente más adelante.
Figura 1.18 Composición de fuerzas coplanares paralelas
1.4.3 El Polígono de Fuerzas
Una forma geométrica alternativa de encontrar la resultante de un sistema de fuerzas es construir el polígono de ellas, lo que se realiza copiando paralelamente las fuerzas una a continuación de la otra. Por ejemplo, considerando el sistema de fuerzas dado en la Fig. 1.16.a, el polígono de las fuerzas corresponde a la línea OABC de la Fig. 1.19.a y la fuerza resultante R es la que va desde el inicio de la primera fuerza al término de la última, es decir de O a C. Obviamente, para realizar la construcción del polígono de fuerzas es inmaterial el orden en que se copian las fuerzas, resultando siempre el mismo punto final para cualquiera de las combinaciones posibles.
Figura 1.19 Polígonos de fuerzas
Si el sistema de fuerzas es concurrente, como el de la Fig. 1.16.a, la resultante queda completamente determinada pues se conoce un punto de su línea de acción, el punto de concurrencia O. En el caso de un sistema de fuerzas no-concurrentes como el de la Fig. 1.17.a también se puede construir su polígono, como se muestra en la Fig. 1.19.b; ello permite encontrar la resultante en magnitud y dirección, pero no se conoce su línea de acción ya que no se dispone de un punto de ella. Para definir ese punto hay que realizar la construcción de la Fig. 1.17 o recurrir al polígono funicular que se presentará en la Sección 1.4.5.
Una situación de particular importancia es aquella en que el polígono de fuerzas es cerrado, es decir, la última fuerza termina exactamente en el punto de inicio de la primera, como se muestra en la Fig. 1.20. Este caso corresponde a un sistema de fuerzas con resultante nula, condición fundamental para el equilibrio de un sistema. Por esta razón, el polígono de fuerzas se utilizará más adelante como una herramienta geométrica fundamental para encontrar relaciones entre las fuerzas en un sistema en equilibrio.
Figura 1.20 Sistema con polígono de fuerzas cerrado
1.4.4 Descomposición de Fuerzas
Una fuerza puede descomponerse según dos direcciones cualesquiera aplicando la Ley del Paralelogramo en forma inversa. Dada la fuerza P y las direcciones 1 y 2 de la Fig. 1.21.a, las componentes P1 y P2 de P se obtienen completando el paralelogramo que tiene a P como diagonal, como se muestra en la Fig. 1.21.b. Obviamente se cumple que la fuerza P es estáticamente equivalente al conjunto de sus dos componentes, es decir:
Figura 1.21 Descomposición de una fuerza
Figura 1.22 Proyecciones ortogonales de una fuerza
Es muy usual y conveniente aplicar la descomposición utilizando dos direcciones perpendiculares entre sí, las que normalmente son referidas como ejes ortogonales, o sistema de ejes cartesiano. La Fig. 1.22 muestra una fuerza P que se ha descompuesto en sus componentes Px y Py según los ejes x e y. Px y Py se denominan también proyecciones de P sobre los ejes x e y respectivamente.
Obviamente:
Las proyecciones ortogonales tienen la ventaja de permitir usar las funciones trigonométricas básicas, que en un triángulo rectángulo, como el de la Fig. 1.23, se definen como:
Figura 1.23 Triángulo rectángulo
y sus inversas
Aplicando las Ecs. 1-15 y 1-16 a la Fig. 1.22 se tiene que:
y además, por ser OAB un triángulo rectángulo, en virtud del Teorema de Pitágoras se tiene que las magnitudes de P y de sus componentes cumplen con:
La Ec. 1-23 también puede demostrarse elevando al cuadrado y sumando las Ecs. 1-21 y 1-22 y utilizando la conocida identidad trigonométrica:
El Ejemplo 1.7 presenta una aplicación directa de la regla de descomposición a la solución gráfica de un problema de estática. El Ejemplo 1.8 presenta una metodología analítica general para la composición de un sistema de fuerzas concurrentes; el método se basa en descomponer primero todas las fuerzas en sus componentes, para después simplemente sumar estas últimas en forma algebraica.
Finalmente cabe mencionar que en el caso tridimensional, es decir una fuerza en el espacio, se utiliza un sistema de tres ejes coordenados ortogonales, sobre cada uno de los cuales se proyecta la fuerza para obtener las componentes Px, Py, Pz (Fig. 1.24). Es claro que:
Figura