El centro de gravedad no es un punto arbitrariamente definido sino un punto que efectivamente tiene una propiedad física muy especial. Por ejemplo, si se quiere equilibrar el tablero apoyándolo en un solo punto (en la punta de un clavo o de un dedo), el único punto que permitirá lograr el equilibrio es el centro de gravedad (CG). Es decir, físicamente, el CG es el “centro” de la masa, o como también podría decirse, es el punto “promedio” de la distribución espacial de la masa.
Esta condición de “centro” o “promedio” permite deducir que siempre que un cuerpo homogéneo tenga un eje de simetría el CG estará sobre dicho eje. Ello porque siempre un eje de simetría divide el cuerpo en dos partes iguales, o sea de igual forma y peso, por lo tanto el “centro” no puede estar a uno ni otro lado de la línea divisoria sino sobre ella. Esto permite localizar en forma inmediata el CG de formas geométricas simples, ya que si hay dos ejes de simetría el CG debe estar en su intersección. Naturalmente en el caso de volúmenes, siempre que exista un plano de simetría el CG estará sobre él. La Fig. 1.10 muestra los CG de varios cuerpos simples: rectángulo, círculo, anillo, barra, esfera. En la Tabla V.2 se presentan propiedades y centros de gravedad de cuerpos comunes.
Figura 1.10 Centros de gravedad de formas geométricas que presentan simetría
El caso del triángulo merece especial consideración. En un triángulo se definen las transversales de gravedad como las líneas que unen un vértice con el punto medio del lado opuesto. La Fig. 1.11.a muestra tc, la transversal de gravedad correspondiente al vértice C. Obviamente tc no es un eje de simetría, pero tiene la particular propiedad de dividir el triángulo en dos mitades iguales: de igual área y de igual peso si el material es homogéneo. De igual área porque por definición el punto D en la Fig. 1.11.a divide el lado AB en dos partes iguales de longitud c/2, luego las áreas de los triángulos ADC y BCD son ambas iguales a ch/4 (un medio de la base por la altura). Además las distancias de A y B a tc son iguales, y también deben serlo las distancias de los centros de gravedad de los triángulos ADC y DBC a tc, luego el CG del triángulo ABC debe estar sobre la línea tc. Si se traza cualquiera de las otras dos transversales de gravedad, ta por ejemplo, el CG debe estar en la intersección de ta y tc. Aún más, como lo anterior ocurre para cualquier par de transversales que se escoja (ta con tc, tb con tc, o ta con tb) queda demostrado que las tres transversales de gravedad son concurrentes y que el CG es el punto de concurrencia (Fig. 1.11.b). Además, puede demostrarse que el CG intercepta a cada una de las transversales en segmentos cuyas longitudes están en la razón 1:2, es decir, la distancia de C a CG es el doble de la distancia de CG a D.
Figura 1.11 Centro de gravedad de un triángulo
Figura 1.12 Subdivisión discreta de un área plana
A continuación se considera la determinación de la ubicación del centro de gravedad para el caso de cuerpos planos homogéneos. Sea un cuerpo de forma cualquiera como el que se muestra en la Fig. 1.12, el cual se ha subdividido en un número n de áreas conocidas, en que el área del segmento i es Ai y la posición del CG del segmento i está definida por las coordenadas xi, yi. En los bordes curvos la subdivisión deberá ser más fina, con el objeto de representar la forma del cuerpo de la manera más fiel posible mediante pequeños segmentos de formas regulares, como rectángulos, triángulos o trapecios. Las coordenadas del centro de gravedad del cuerpo se definen como:
Notar que las definiciones anteriores no son otra cosa que lo que normalmente se conoce como un promedio ponderado. En efecto, por ejemplo, lo que se denomina el promedio ponderado acumulado del rendimiento académico de un estudiante universitario tiene exactamente la misma definición:
en que Ni es la nota en el curso i, ci su número de créditos, y n el número de materias cursadas. El concepto de “ponderación” refleja el hecho que los cursos no tienen igual “peso” pues tienen distinto creditaje, por ello las notas deben ponderarse asignándoles un valor proporcional al creditaje. El promedio “corriente” de notas de igual valor, es decir sin corrección por creditaje u otro factor, es simplemente:
lo que corresponde a considerar ci ≡ 1 para todo i.
El método de cálculo implícito en las Ecs. 1-10 y 1-11 obviamente corresponde al concepto aplicado por Arquímedes (Ejemplo 1.1). Naturalmente, por otra parte, las ecuaciones mencionadas se transforman en integrales cuando el modelo deja de ser discreto (subdivisión en un número finito de partes) y se aborda como un continuo (subdivisión en infinitas partes).
Ejemplo 1.3
Determinar el centro de gravedad de un cartón delgado de la forma que se muestra en la Fig. E1.3.a
Figura E1.3
Solución: Se escoge un sistema de ejes de referencia, como por ejemplo el indicado en la Fig. E1.3.b. Por cierto hay distintas alternativas y libertad para escoger el sistema de ejes, aunque en algunos casos puede haber elecciones más convenientes que simplifiquen los cálculos.
A continuación se subdivide el cuerpo en segmentos de área simples cuyos CG son conocidos. En este caso, se ha subdividido el cartón en tres cuadrados iguales (Fig. E1.3.b) de modo que sus áreas y centros de gravedad son:
luego:
El CG calculado se muestra en la Fig. E1.3.c
Ejemplo 1.4
Determinar el centro de gravedad del cuerpo plano homogéneo de la Fig. E1.4 que tiene dos perforaciones circulares de radio “a”.
Figura E1.4
Solución: Este ejemplo ilustra que en la subdivisión del cuerpo en segmentos pueden considerarse áreas “en exceso” las que por cierto deben simultáneamente sustraerse. En efecto, en este caso los segmentos escogidos y sus áreas son: A1 =54a2=área total del rectángulo, y2 A =A3 =πa2=área de las perforaciones. Entonces, al utilizar las Ecs. l-10 y 1-11, A2 y A3 deben incorporarse con signo negativo, para restarlas del área A1 que las incluyó a pesar de ser espacios vacíos:
Ejemplo 1.5
Determinar