De acuerdo a la 2a Ley de Newton (Ec. 1-4) una partícula experimentará una aceleración a no ser que la fuerza que actúa sobre ella sea nula. Entonces, si F es la fuerza que actúa sobre una partícula, es condición necesaria y suficiente para su equilibrio que:
Si sobre una partícula actúan n fuerzas Fi, es condición necesaria y suficiente para el equilibrio que la resultante R del sistema de fuerzas sea nula:
Simbólicamente, la condición anterior puede escribirse como:
Figura 1.30 Coliseo Romano
pero teniendo presente que las cantidades involucradas en la sumatoria corresponden a cantidades vectoriales que no pueden sumarse simplemente en forma algebraica sino conforme a las reglas descritas en la Sección 1.4.
La ecuación vectorial anterior puede expresarse escalarmente en términos de las componentes de las fuerzas. En referencia a un sistema cartesiano de ejes x, y, z en el espacio tridimensional, la Ec. 1-29 se transforma en las tres ecuaciones escalares:
En la Ec. l-30.a Rx es la componente x de la resultante, y F1x, F2x, hasta Fnx son las componentes según x de las fuerzas F1, F2, hasta Fn respectivamente. Similar significado tienen las Ecs. 1-30.b y c pero en referencia a las proyecciones de las fuerzas en los ejes “y” y “z” respectivamente. En forma todavía más simplificada, es común que las condiciones de equilibrio (Ecs. 1-30) se escriban usando la notación:
Al presentar la condición de equilibrio de una partícula (Ec. 1-27), se mencionó su categoría de condición necesaria y suficiente. La distinción entre necesidad y suficiencia es un aspecto de lógica que es relevante abordar aquí, ya que volverá a presentarse al establecer las condiciones de equilibrio de los sistemas de partículas y de los cuerpos rígidos en la Sección 1.7. Se dice que la condición B es necesaria, si dado A implica B (A⇒B). En este caso, si la partícula está en equilibrio es necesario que F=0; es decir la condición F=0 es necesaria para el equilibrio de la partícula. Inversamente, se dice que la condición B es suficiente si dado B implica A (A⇐B). En este caso, si F=0 se concluye que la partícula está en equilibrio, es decir la condición F=0 es suficiente para el equilibrio de la partícula. Una condición necesaria y suficiente (A⇔B) es de mayor categoría que una que es solamente necesaria (A⇒B). Un ejemplo sencillo de este último caso se desprende de la proposición siguiente: Si sale agua del grifo (A), la llave está abierta (B); es decir, que la llave esté abierta es condición necesaria, pero no suficiente, ya que ello no es garantía de que salga agua, y la proposición inversa es falsa.
Adicionalmente a las ecuaciones de equilibrio de la partícula, explicitadas en la forma de las Ecs. 1-28, 1-29, 1-30 ó 1-31, existen formas alternativas de expresarlas, como también ciertas propiedades que son con frecuencia útiles. Estas se resumen en los teoremas siguientes:
a) Teorema del Polígono de Fuerzas: Si una partícula está en equilibrio bajo la acción de varias fuerzas, el polígono de ellas es cerrado. La conclusión es obvia, ya que la condición geométrica de polígono cerrado es equivalente a que la resultante sea nula.
b) Teorema de la Coplanariedad: Si una partícula está en equilibrio bajo la acción de 3 fuerzas, las fuerzas son coplanares. Ello se demuestra reconociendo que dos de las fuerzas definen un plano, por tanto la tercera fuerza no podría estar fuera del plano pues sería imposible equilibrar su componente perpendicular al plano de las otras dos.
c) Teorema del Triángulo: Si una partícula está en equilibrio bajo la acción de 3 fuerzas, éstas pueden representarse en magnitud y dirección por los lados de un triángulo. Esta es conclusión directa de los teoremas anteriores, ya que el polígono cerrado es un triángulo plano.
d) Teorema de Lamy: Si una partícula está en equilibrio bajo la acción de 3 fuerzas, la magnitud de cada una de ellas es proporcional al seno del ángulo formado por las otras dos (Fig. 1.31.a y Ec. 1-33). De la trigonometría se tiene el conocido Teorema del Seno en un triángulo plano (Fig. 1.31.b):
pero sen (180 – α) = sen α, luego
Figura 1.31 Teorema de Lamy
e) Teorema del Cuerpo Sometido a 3 Fuerzas: Si un cuerpo está en equilibrio bajo la acción de tres fuerzas, las fuerzas son coplanares y sus líneas de acción son o bien concurrentes o paralelas. Aunque este teorema sólo puede probarse haciendo uso de las condiciones de equilibrio de un cuerpo rígido, que se verán más adelante, se ha enunciado en forma anticipada porque constituye una poderosa herramienta para la solución de problemas de estática. En efecto, cuerpos de dimensiones finitas, que no son realmente partículas, pueden siempre tratarse como tales si están sometidos a tres fuerzas y éstas no son paralelas. El equilibrio exige la coplanariedad y la concurrencia de las fuerzas, por lo que estos problemas se reducen a considerar el equilibrio de una partícula hipotética ubicada en el punto de concurrencia de las fuerzas.
Un ejemplo simple de lo anterior es el estudio del equilibrio de la barra homogénea de largo L1 de la Fig. 1.32.a, que se apoya en el piso en su extremo A, formando ángulo α con la horizontal, y cuelga de un hilo de largo L2 atado a su extremo B. Considerando que el peso W de la barra puede suponerse actuando verticalmente en su punto medio C, y que la dirección del hilo es conocida, y por tanto conocida la línea de acción de la fuerza T en el hilo, el equilibrio requiere forzosamente que la reacción R del piso sobre la barra pase por el punto O intersección de W y T. El cálculo de las magnitudes de R y T es muy simple, pudiendo por ejemplo obtenerse del polígono de fuerzas (triángulo) como muestra la Fig. 1.32.b. La solución analítica de este problema se presenta en el Ejemplo 1.12 al término de esta Sección.
Figura 1.32 Barra de dimensiones finitas modelada como partícula
Ejemplo 1.9
Un bloque de peso W cuelga de dos cuerdas livianas como se muestra en la Fig. E1.9.a. Determinar las fuerzas que deben realizar las cuerdas.