Santiago, mayo de 2011
I.
ESTÁTICA
1.1 Introducción
L a estática es la parte de la mecánica que estudia las condiciones de equilibrio de los cuerpos, es decir, las condiciones que mantienen el estado de inmovilidad o reposo. La mecánica, parte de la física, es una materia fundamental en los campos de la ingeniería mecánica y de la ingeniería estructural, disciplinas que en la era moderna han contribuido sustancialmente a su desarrollo y aplicación práctica en los problemas tecnológicos que les conciernen.
Arquímedes (287-212 A.C.) nacido en Siracusa, Sicilia, uno de los más grandes intelectos de la humanidad, fue el primero en manejar los conceptos básicos de equilibrio. Aparte de sus contribuciones a la mecánica y a la astronomía, hizo aportes notables en matemáticas y física. Formalizando el llamado método exhaustivo de Eudoxio (408-355 A.C.), Arquímedes inventó el cálculo integral, y también fue precursor del cálculo diferencial, anticipándose en casi 20 siglos a Newton (1642-1727), Leibniz (1646-1716) y Fermat (1601-1665) que lo impulsaron, hasta que finalmente Cauchy (1789-1857) y Riemann (1826-1866) le dieron una base matemática definitiva. En la física, su obra maestra es la hidrostática, que se refiere al estado de equilibrio de los fluidos y flotación de los cuerpos. Cuenta la leyenda que su famoso descubrimiento de que un cuerpo sumergido disminuye aparentemente su peso en igual cantidad que el peso del volumen de líquido desplazado (el Principio de Arquímedes), lo hizo mientras se bañaba y observaba flotar su propio cuerpo, por lo que entusiasmado salió corriendo desnudo a las calles gritando “¡eureka, eureka!”, que significa “lo tengo, lo encontré”.
La mención de la obra de Arquímedes en esta introducción no es casual. Sus descubrimientos, inspirados en una notable intuición y motivados por la solución de problemas prácticos, fueron expresados y pueden comprenderse sin tener que recurrir a un marco teórico y analítico complejo. Cabe mencionar que en la época de Arquímedes el álgebra elemental y la simbología usual de hoy en día eran totalmente desconocidas. Esta forma de pensar se utilizará en la presentación de los temas de análisis, confiando mucho en la intuición física y geométrica, y en la imaginación, para despertar en los estudiantes de arquitectura similar actitud. Es decir, se procurará llegar a los conceptos fundamentales por caminos simples, evitando las complejidades matemáticas, pero sin comprometer el rigor y fidelidad a la esencia de los conceptos mismos.
La estática de los cuerpos rígidos se enmarca en definitiva como caso particular de las Leyes de Newton, presentadas en 1686 en su Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. A pesar de la importancia de las ideas previas de Galileo (1564-1642) sobre las causas del movimiento de un cuerpo, y las del movimiento planetario de Kepler (1571-1630), Isaac Newton es el padre de la dinámica y de la mecánica celeste. Sus ideas del espacio y del tiempo absoluto no fueron objetadas sino hasta más de doscientos años después, cuando Einstein (1879-1955) presentó la Teoría de la Relatividad en 1905.
La primera de las tres leyes del movimiento de Newton establece que: “Todo cuerpo mantiene su estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme a menos que sea obligado a cambiar ese estado por la acción de una fuerza aplicada sobre él”. Conforme a esta ley, la condición de equilibrio estático exige que la resultante de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo sea nula.
La aplicación de la ley requiere la definición del concepto de fuerza, que se presenta en las secciones siguientes, y del concepto de momento, lo que se hará más adelante. Cabe sin embargo destacar que la condición de resultante nula es necesaria y suficiente para el equilibrio sólo en el caso de cuerpos rígidos. Se entienden por tales aquellos que no experimentan deformaciones al ser sometidos a fuerzas. La condición de rigidez infinita no se cumple en los materiales reales, los que por más fuertes que sean, igual experimentan deformaciones. Sin embargo, en la práctica basta conque las deformaciones sean pequeñas, es decir lo suficientemente pequeñas para que la alteración geométrica de la configuración de equilibrio sea despreciable. La necesaria hipótesis de deformaciones pequeñas se cumple normalmente en las construcciones de la práctica, primero porque los materiales tienen rigidez suficiente, y segundo, porque además los criterios de diseño imponen también límites a las deformaciones de las estructuras, por una serie de razones que lo hacen conveniente y que se discutirán en su oportunidad. Con esta aclaración, se entenderá que al hablar del cuerpo rígido se estará haciendo referencia a elementos o estructuras poco deformables.
Ejemplo 1.1
Este ejemplo ilustra la forma en que Arquímedes aplicó el método exhaustivo, precursor del cálculo integral, al cálculo de áreas de contornos curvilíneos y volúmenes limitados por superficies curvas. En este caso se aplica al cálculo del área bajo una parábola, uno de los casos resueltos por Arquímedes.
Una parábola se define por la función y=f(x)=a+bx2 en que a y b son constantes cualesquiera; en el caso de la Fig. E1.1.a a=0, de modo que para cualquier punto de la curva de coordenadas xo e yo se cumple yo =bxo 2. El área que se desea calcular es el área achurada en la Fig. E1.1.b, es decir el área A bajo la curva parabólica en el intervalo limitado por x=0 y x=c.
Figura E1.1
Solución: Para ello se subdivide el intervalo de x entre 0 y c en n partes (en particular n=8 en las Figs. E1.1.c y d) y se calculan dos aproximaciones al área buscada: una por defecto (área achurada en la Fig. E1.1.c) y otra por exceso (área achurada en la Fig. E1.1.d). El área achurada en la Fig. E1.1.c es
mientras el área achurada de la Fig. E1.1.d es
se dice entonces que el área buscada A está acotada entre s
y en la medida que se aumente progresivamente el número n de subdivisiones la aproximación a la curva mejorará y la diferencia entre sn y Sn se hará cada vez más pequeña, determinándose A con un valor tan preciso como se quiera, quedando el problema resuelto. Sin embargo, estudiando las series sn y Sn puede demostrarse que si se toma un número infinito de términos, las sumatorias convergen a un número o límite finito:
y por lo tanto el área bajo la parábola es exactamente A=bc3/3, o sea, A es un tercio del área del rectángulo OIJK de la Fig. E1.1.b.
1.2 Ley de Gravitación Universal
Las antes mencionadas leyes de Kepler establecen las características cinemáticas, es decir geométricas, del movimiento de los planetas en torno al sol. Ellas fueron descubiertas en forma empírica, después de veinte años de observación y cálculos, pero no tenían una base teórica que las sustentara. En efecto, el concepto de fuerza no se había establecido con claridad hasta que Newton lo enmarcó en el contexto de sus Leyes del Movimiento y su Ley de Gravitación Universal. Precisamente, a partir de las leyes de Newton las observaciones de Kepler pueden derivarse o demostrarse con relativa facilidad.
La Ley de Gravitación Universal de Newton establece que “dos partículas materiales en el universo se atraen entre sí con una fuerza proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las une”:
Las fuerzas F se ejercen en la línea que une las partículas. La