Чтобы выяснить смысл предполагаемых форвардных ставок, рассмотрим две стратегии.
Стратегия 1. Денежную сумму Q инвестируем на n + t полугодовых периодов под ставку rn + t (это означает, что на сумму Q закупаются облигации с нулевыми купонами, погашаемые через n + t полугодовых периодов).
Стратегия 2. Денежную сумму Q инвестируем на n полугодовых периодов под ставку rn, а затем накопленную сумму реинвестируем еще на t полугодовых периодов под ставку zt.
Данные стратегии дадут один и тот же конечный результат тогда и только тогда, когда zt = nft.
Таким образом, предполагаемая форвардная ставка nft – это такая ставка, которую может себе обеспечить инвестор на t полугодовых периодов в будущем, оперируя на рынке облигаций с нулевыми купонами.
Пример 1.26. Рыночные доходности на 3 и 5 полугодовых периодов соответственно равны 8 и 9 %.
Предполагаемая форвардная ставка через 1,5 года на один год вперед может быть найдена следующим образом:
Если 100 долл. инвестировать на 2,5 года под ставку 9 %, то через 2,5 года получим
Если же 100 долл. инвестировать на 1,5 года под ставку 8 %, а затем накопленную сумму
реинвестировать под предполагаемую форвардную ставку 10,51 % еще на один год, то получим
Таким образом, обе рассмотренные стратегии дают один и тот же результат (небольшое расхождение объясняется погрешностями при расчетах).
Графическое изображение предполагаемых форвардных ставок nft при t = 1, 2, 3…. называют кривой форвардных ставок (forward rate curve) через n полугодовых периодов.
Можно доказать, что если кривая форвардных ставок является возрастающей (убывающей), то и кривая рыночных доходностей возрастает (убывает). Однако при возрастающей кривой рыночных доходностей кривая форвардных ставок не обязательно будет возрастающей.
Пример 1.27. На данный момент времени известны следующие рыночные доходности:
Таким образом, кривая рыночных доходностей возрастает. По определению предполагаемых форвардных ставок имеем:
Следовательно, кривая форвардных ставок не является возрастающей (1f2 > 1f3).
Если известны предполагаемые форвардные ставки, то можно определить и рыночные доходности:
Так как среднее геометрическое положительных чисел не больше среднего арифметического этих чисел, то
C помощью предполагаемых форвардных ставок можно найти котируемую цену облигации с полугодовыми купонами:
1.11. Относительное изменение цены купонной облигации
На данный момент времени цена купонной облигации зависит только от требуемой доходности. При этом чем выше требуемая доходность, тем ниже цена облигации, и, наоборот, чем ниже требуемая доходность, тем выше цена.
Обозначим через Р(r) цену купонной облигации при требуемой