Если же инвестор взял облигацию взаймы у дилера и продал ее на рынке, то говорят, что на рынке облигаций он занимает короткую позицию (short position). Инвестор, занимающий короткую позицию, обязан в определенный момент времени в будущем вернуть облигацию дилеру и выплатить компенсацию за недополученные купонные платежи. Рассмотрим на примере, как определить модифицированную дюрацию портфеля, состоящего из длинных и коротких позиций на рынке облигаций.
Пример 1.38. Портфель состоит из двух позиций: длинной позиции в размере 100 млн долл. по двухлетней облигации ценой 101 долл. с модифицированной дюрацией 1,7 и короткой позиции в размере 50 млн долл. по 5-летней облигации ценой 99 долл. с модифицированной дюрацией 4,1. Определим модифицированную дюрацию этого портфеля.
Исходная стоимость портфеля может быть найдена следующим образом:
1.15. Приложения дюрации
1.15.1. Обмен облигаций
Предположим, что инвестор рассматривает вопрос об обмене облигации Х стоимостью VX с модифицированной дюрацией
Выясним, каким должен быть номинал облигации Y, чтобы обмен облигации Х на облигацию Y не увеличивал подверженность инвестора процентному риску.
Если требуемая доходность облигации Х изменится на величину Δr, то соответствующее изменение стоимости этой облигации определяется равенством
Можно предположить, что на основе статистических исследований установлено, что при изменении требуемой доходности облигации Х на величину Δr требуемая доходность облигации Y изменяется на величину βΔr.
Тогда соответствующее изменение стоимости облигации Y можно найти по формуле:
где Ay – номинал облигации Y.
Обмен облигаций не будет увеличивать подверженность процентному риску, если при любом Δr
Равенство (1.43) показывает, каким должен быть номинал облигации Y, чтобы при обмене облигации Х на облигацию Y не увеличивался процентный риск.
Пример 1.39. Инвестор рассматривает вопрос об обмене облигации Х стоимостью 8 млн долл. на облигацию Y при цене PY = 96 долл. Модифицированные дюрации облигаций Х и Y равны 5 и 4 соответственно, а коэффициент β равен 1,6.
Чтобы при обмене не менялась подверженность процентному риску, номинал облигации Y должен удовлетворять равенству:
Таким образом, искомый номинал облигаций Y должен равняться 6 510 417.
1.15.2. Иммунизация портфеля облигаций
Предположим, что в данный (нулевой) момент времени инвестор владеет портфелем облигаций, который он собирается продать через Т лет.
Если в данный момент времени все рыночные доходности одинаковы, т. е. кривая доходности имеет ровный вид, то будущая стоимость инвестиций ПА(Т) через Т лет определяется следующим образом:
где r – рыночная доходность,
П(r) –