De modo alterno, séanse las líneas sólidas (01) que forman el ángulo θ con [21]. Una vista aumentada del triángulo que relaciona al espaciado interlineal de (01), con d(21), que se mide en una dirección paralela a [211], se muestra en la figura 3.5b.
Es claro que
d(21) = asenθ.
Sustituyendo este valor en la ecuación 3.9:
K[21] = 2π/λ = π/asenθ,
que es la ley de Bragg para la reflexión desde líneas que tengan un espaciado interlineal de a.
De lo anterior se tiene que la condición 3.6, que determina las discontinuidades en los intervalos de energía permitida de los electrones en un cristal, puede ser interpretada para indicar o bien la reflexión total de los electrones por los planos que son normales a la dirección de propagación, o bien las reflexiones de Bragg por otros planos cristalográficos. Obviamente, los planos escogidos para esta última interpretación son los planos que reflejan con más fuerza a los electrones.
Para una estructura cristalina constituida por un átomo colocado en los puntos reticulares de una red cúbica primitiva, estos planos son las caras del cubo que pertenecen a la forma {100}. En un cristal cúbico de cara centrada sencilla seran los planos en {111} y {200}, y en un cristal de cuerpo centrado serán los planos {110}. Los poliedros formados por estos planos son llamados primeras zonas de Brillouin de estos cristales. Las figuras 3.6a y 3.6b muestran las primeras zonas de Brillouin de un metal fcc y bcc respectivamente.
Figura 3.6 Primeras zonas de Brillouin en un metal a. fcc y b. bcc.
Debe anotarse que otros planos en el cristal también pueden reflectar los electrones. En efecto, para energías mayores y, en consecuencia, números de onda más altos, se ve claramente en la ecuación 3.9 que se requieren valores menores de d para mantener la igualdad.
Así que otro conjunto de planos, menos separados, es necesario para reflejar los electrones que tienen energías pertenecientes a la segunda zona permitida, y de igual manera con los demás. Los poliedros formados por estos planos son llamados la segunda, la tercera, etc., zonas de Brillouin del cristal. En honor de León Brillouin, su creador (véase figura 3.7), se usan estos poliedros para la discusión de las energías en los cristales (véase figura 3.8).
Figura 3.7 a. Segundas zonas de Brillouin en cristales fcc y bcc; b. Terceras zonas de Brillouin en cristales fcc y bcc.
Figura 3.8 Zonas de Brillouin
3.2.2.1. El espacio K
El espacio K, del que ya se habló en la sección 2.5, es especialmente adecuado para la representación de las zonas de Brillouin. En el caso de los cristales cúbicos, es convención seleccionar los tres ejes x, y y z, paralelos a los tres ejes cristalográficos equivalentes a a, y denotar las direcciones paralelas a estos ejes con los subíndices
x, y, z. De acuerdo con eso, la condición 3.6 para estas tres direcciones es:
kx = ky = kz = ± π/a, (3.10)
donde el signo ± corresponde a valores positivos o negativos de x, y y z.
Conviene más usar los números de onda kx, ky y kz como ejes de coordenadas para la construcción, como se hizo en las figuras 3.5 y 3.6, de las zonas de Brillouin. El espacio determinado por estos ejes, como se anotó, se llama espacio K, y como las distancias en este espacio son el recíproco de las distancias en el cristal, de acuerdo con la ecuación 3.9, también es llamado espacio o red recíproca. Nótese que para un electrón libre esto es proporcional al espacio de momento discutido antes.
El espacio k, definido por kx, ky se muestra en la figura 3.8. La primera zona de Brillouin para un cristal cúbico simple es un cubo que se presenta en la sección transversal de esta figura. La segunda zona de Brillouin para un cristal simple es un dodecaedro limitado por {110}; su sección transversal se ve en el plano xy en la figura 3.8. Nótese que la segunda zona queda fuera de la primera zona en el espacio k, porque está limitada por los planos {110}, que tienen una distancia interplanar menor que los planos {100}. Esto, por supuesto, es debido a las relaciones recíprocas entre las distancias en el cristal y las que se presentan en el espacio k.
3.2.2.2. Superficies de Fermi
Como se anotó en la sección 3.2.2, una propiedad muy útil del espacio K es que la relación entre número de onda y energía puede usarse para mostrar la distribución de los valores de energía permitida para los electrones de valencia. Esto se debe a que la energía está relacionada con k, como lo muestra también la figura 3.9.
Figura 3.9 Las tres primeras zonas de Brillouin en una red cuadrada bidimensional
Ahora puede prepararse un grafico de E en función de K, como la figura 3.9, para diversas direcciones en un cristal. Las curvas resultantes tienen formas similares, excepto en que los valores máximos y mínimos de energía diferirán con la dirección, debido a la prioridad del potencial y la magnitud de las barreras (en la figura 3.9 cambia con la dirección).
Después de determinar la variación de la energía con la dirección, se puede graficar en el espacio k, anotando los valores de energía en puntos diferentes. Cuando todos los puntos que tienen los mismos valores de energía se unen mediante líneas, se obtiene un conjunto de contornos de energía.
En la figura 3.10 se presenta un conjunto de contornos de energía para un electrón cuasilibre en un cristal cúbico simple. Los contornos más internos son círculos (en tres dimensiones son esferas), pues los electrones con estas energías tienen números de onda bastante alejados de los valores críticos de la ecuación 3.10. Estos electrones, por tanto, poseen la misma energía, sin importar la dirección en la cual se mueven dentro del cristal, a diferencia del caso del electrón libre.
Cuando los contornos de energía se hacen cercanos a los límites de zona, aquello deja de ser cierto. Si los números de onda se aproximan a los valores críticos determinados por 3.10, los correspondientes valores de energía aumentan muy lentamente (véase figura 3.3a) y los contornos de la figura 3.10 empiezan a combarse hacia los límites de zona. Por último, los contornos energéticos en las esquinas de la zona terminan sobre los límites, porque corresponden a valores de K mayores que cualquiera de los números de onda de las otras partes de la zona.
Figura 3.10 Contornos de energía igual en un cristal cúbico simple
Los contornos que quedan dentro de la primera zona de Brillouin están encerrados en el cuadrado. También se representa el primer par de contornos que queda en la segunda zona.
La figura 3.10 muestra también los dos primeros contornos energéticos en la segunda zona de Brillouin. Estos contornos no se juntan con ninguno de los de la primera zona, debido a la discontinuidad de la energía que ocurre en un límite de zona. El primer contorno de la segunda zona puede corresponder a una energía que es o mayor o menor que el contorno más exterior de la primera zona. Para ver cómo puede suceder esto, obsérvense las curvas de energía en la figura 3.10 para la primera y la segunda zonas graficadas como función de K para dos direcciones cristalográficas.
La figura 3.11 presenta la curva de energía para el movimiento a lo largo del eje a1. Como se esperaba, esta curva tiene discontinuidad en Kx = π/a, indicada por el tope de energía para la primera zona, E1, y la energía inferior en la segunda, E2.
La figura 3.11b muestra un gráfico similar para el movimiento del electrón paralelo a [12]. Es claro, de la figura 3.8, que la energía máxima en la primera zona es mayor en esta dirección que