En esencia, hay dos posibilidades al tomar las magnitudes relativas del nivel de energía máximo de la primera zona y el nivel de energía mínima de la segunda; ellas son: o que la primera es mayor, o lo contrario. En la figura 3.11 se ilustran ambas posibilidades. Considérese la discontinuidad de la figura 3.11b representada por E’2 y E″2.
Figura 3.11 Zonas de energía permitidas a lo largo de dos direcciones en un cristal cúbico simple.
a. Paralelo al eje x; b. paralelo a la dirección [12] Dos pares posibles de valores de energía en el límite de zona K = π/d[12] se designan E’1, E″2 y por E″1, E″2. El subíndice 1 se refiere a los valores de energía en la primera zona, y el 2, al mínimo valor permitido en la segunda zona. c. zonas permitidas separadas por la región de energía prohibida; d. solape de zonas permitidas.
La figura 3.11c muestra, esquemáticamente, el caso en que la máxima energía en la primera zona, representada por E’1, queda por debajo del fondo de la segunda región. El ancho de la laguna (o espaciamiento o vacío) resultante está determinado por la energía mínima en esa zona, E2.
La figura 3.11d ilustra el otro caso, donde la energía tope en la primera zona de energía, según está determinado por E″1, queda por encima del fondo de la segunda zona, o sea E″1 > E’2. Como puede verse en la figura 3.11d, las zonas aparecen solapadas y no hay una región de energía prohibida que las separe. El significado de estas zonas solapadas se hace evidente cuando se observa la ocupación de los niveles de energía disponibles.
Según las condiciones límites habituales que confinan a un electrón en el interior de un cristal, las longitudes de onda que un electrón libre puede tener están limitadas a submúltiplos enteros de la longitud del cristal en la dirección de propagación. Es por eso por lo que
Kx = (2πn1)/L1.
Igualmente,
Ky = 2πn2/L2 y Kz = 2πn3 /L3.
El volumen del espacio K, correspondiente a un simple nivel de energía, es
(2π)³/L1 L2 L3 = 8π³/ν (úpsilon),
que es el volumen de un cristal rectangular de lados L1, L2, L3.
El volumen de la primera zona de Brillouin para una estructura cúbica simple es la de un cubo de lado 2π/a. Por tanto, el número total de niveles de energía en esta zona es
(8π³/a³) (ν/8π³) = ν/a³,
que es exactamente igual al número de puntos reticulares en el cristal.
Puesto que cada nivel energético puede ser ocupado por dos electrones de espín opuesto, se pueden acomodar hasta dos electrones de valencia por punto reticular en la primera zona.
En una estructura cúbica simple, hay un átomo por punto reticular, así que se pueden acomodar hasta dos electrones por átomo en la primera zona.
Los elementos que tienen más de dos electrones de valencia deben distribuir sus electrones entre los estados disponibles en la primera y la segunda zonas. La forma en que realmente estos estados disponibles son ocupados depende, por supuesto, de las energías permitidas en relación con las dos zonas, esto es, si las zonas se traslapan o no.
La ocupación sucesiva de los estados disponibles para ambos casos posibles se ilustra en la figura 3.12. Los primeros diagramas (véanse figuras 3.12a y 3.12b) muestran los estados en la primera zona ocupados parcialmente por los electrones.
Figura 3.12 Ocupación sucesiva de los estados disponibles para zonas traslapadas y sin traslapar
a. y b. Estados en la primera zona ocupados parcialmente por electrones, (c) lo que sucede cuando el número de electrones es exactamente igual al doble del número de estados cuánticos disponibles, (d) estados en la segunda zona ocupados parcialmente por electrones.
El contorno energético que encierra a los estados ocupados es llamado superficie de Fermi, pues denota la máxima energía que los electrones pueden tener, es decir, la energía de Fermi. La figura 3.12c presenta lo que sucede cuando el número de electrones es exactamente igual al doble del número de estados cuánticos disponibles en la primera zona. Como cada nivel de energía puede acomodar dos electrones, la primera zona se llena por completo si las zonas no se traslapan (parte baja de 3.12c). Si, en cambio, ocurre traslape, entonces los estados cuánticos en el fondo de la segunda zona tienen energías inferiores a las energías de los estados en las esquinas de la primera zona, y aquellos estados son primero, como se muestra en la parte superior de la figura 3.12c. La consecuencia de las zonas traslapadas es, por tanto, que es imposible completar el llenado de una zona sin comenzar a llenar la siguiente. De esto se desprende que una o más de las zonas siempre están parcialmente vacías cuando las zonas se traslapan. Este resultado importa para explicar por qué algunos materiales son conductores y otros no.
Por un procedimiento similar, es posible construir superficies de energía en tres dimensiones, como se muestra en la figura 3.13 para el Cu. Además, en la tabla 3.1 se dan las energías de Fermi de varios metales monovalentes.
Figura 3.13 Superficie de Fermi para el Cu
En una sola zona de Brillouin es esférica, pero con nucas que sobresalen de la superficie.
Fuente: The free dictionary (s. f.).
Tabla 3.1 Propiedades de algunos metales monovalentes
| Material | Número de electrones libres por metro cúbico | Energía de Fermi -Ef (eV) | Temperatura de Fermi- Tf (K) |
| Li | 4,6 × 1028 | 4,72 | 5,5 × 104 |
| Na | 2,5 | 3,12 | 3,6 |
| K | 1,3 | 2,14 | 2,5 |
| Rb | 1,1 | 1,82 | 2,1 |
| Cs | 0,85 | 1,53 | 1,8 |
| Cu | 8,5 | 7,04 | 8,2 |
| Ag | 5,8 | 5,51 | 6,4 |
| Au | 5,9 | 5,54 | 6,4 |
3.2.2.3. La relación entre energía y número de onda
Para los electrones libres, como los considera Sommerfeld, o para los cuasilibres de muy al interior de las zonas de Brillouin, la relación de la energía cinética es ½mc², con su número de onda es la simple relación parabólica
E = K²K²/٢m.
Si se tiene en cuenta el movimiento en un campo periódico, este comportamiento es prácticamente el mismo para la mayoría de los electrones, excepto para aquellos que se aproximan a valores críticos de energía. Recuérdese que, en estos valores críticos, αa = ±nπ.
Por tanto,
E = K2 π2 n2/2ma2.
De este modo, para un electrón fuertemente ligado al núcleo, el modelo predice una serie de niveles discretos. Bajo esas condiciones, el electrón se puede suponer confinado en una celda simple del modelo, aunque esta no pueda ser especificada en particular. Para valores intermedios de p, los electrones con energías dentro de intervalos apropiados pueden moverse libremente por el cristal. Esto ocurre aun cuando la energía del electrón sea menor que la altura de la barrera. La penetración de electrones a través de las barreras es conocida como efecto túnel, como ya se mencionó,1 y es un efecto muy importante.
3.2.2.4. La curva de densidad de los estados
Al considerar la teoría zonal, es obvio que también las curvas de densidad de estados deben modificarse con respecto a la teoría del electrón libre.
La ocupación de los estados disponibles en una zona, por los electrones de valencia en cualquier material depende del número de estados contenidos en cada zona.
Como