Siguiendo la ley natural de todos los sistemas de tender hacia una mínima energía, en los cristales son ocupados primero los niveles disponibles de menor energía, en orden ascendente, respetando el principio de exclusión. La energía real del sistema depende, no obstante, de la distribución de los estados disponibles en el espacio K, o sea, el número de estados cuánticos por intervalo unitario de energía en cada zona.
Para trabajar mejor con un número tan elevado como es el de niveles de energía, es preferible usar de nuevo el concepto de densidad de estados energéticos N(E)dE —sección 2.3.1—. Como hay tantos niveles de energía disponibles y están cercanos entre sí (separados solo unos 10–12 eV), la energía, así como la misma densidad de los estados, pueden considerarse como bandas casi continuas de energías disponibles y sus correspondientes densidades.
Para el caso de electrones libres se ha dicho ya que el número total de electrones que puede acomodarse es:
N = 2(4/3)π K3ν/8π3 = (8π/3) (2mE)3/2 ν/h3, (3.11)
donde todas las variables ya han sido definidas.
El número de estados disponibles con energías entre E y E + dE se halla al diferenciar 3.11:
dN/dE = 8πM(2mE)½ ν/h3.
La densidad de estados es, como se ha reiterado, una simple función parabólica de la energía en el caso de electrones libres.
Al considerar el modelo de zonas, esta curva es modificada por las zonas de Brillouin, según se muestra en la figura 3.14.
Figura 3.14 Curvas de densidad de estados para el modelo de zonas
Para energías bajas, la curva sigue la misma parábola que para los electrones libres. Pero al acercarse al límite de la zona más próxima, el nivel de las energías cae y más estados tienen casi el mismo valor de energía en el límite (hay una mayor concentración en cada nivel de energía). Al continuar esto, las esquinas de la zona se llenan, haciendo que la curva caiga a cero al completarse la zona. Si dos zonas se superponen, entonces también lo estarán estas curvas, y la curva resultante se obtiene sumando las curvas individuales (figura 3.14c).
Ahora bien, interesa también determinar la densidad de estados efectivamente ocupados, no solo disponibles. Este dato es el producto de la densidad de estados disponibles por la probabilidad de su ocupación.
Esta probabilidad, a su vez, está determinada por la distribución de Fermi:
En consecuencia, el número de electrones en un cristal de volumen ν que tengan energías entre E y E + dE, se determina por:
E0 es la mínima energía en la zona.
3.3. Aplicaciones de la teoría zonal
Una de las ventajas de la teoría zonal sobre la teoría del electrón libre fue que permitió explicar fenómenos como la transición metal-aislador, las propiedades magnéticas y las propiedades ópticas.
3.3.1. Conductores y aisladores
Al distinguir entre materiales conductores, semiconductores y aisladores, la idea básica es que la conducción electrónica depende del grado en que los electrones exteriores pueden ser excitados a estados de energía mayor y moverlos en la dirección de un campo eléctrico aplicado. En términos generales, para llegar a estados de momentos más elevados (con mayores velocidades), debe haber algún estado de energía libre hacia el cual pueda ser excitado el electrón. En otras palabras, para conseguir un flujo neto de electrones en alguna dirección, algunos electrones deben cambiar sus vectores de onda K, aumentando su energía. Debido a ello, la distinción entre metales, semiconductores y aisladores está basada en las estructuras de las bandas electrónicas, las que controlan la facilidad relativa con que los electrones pueden obtener energías cinéticas y velocidades mayores.
Así como parece evidente que los electrones libres puedan moverse a través de toda la región isopotencial, no es tan claro que suceda lo mismo con los electrones que se mueven en un campo potencial periódico. Según la mecánica clásica, si dos regiones de energías potenciales bajas A y B están separadas por una tercera región en la que la energía potencial es superior a la energía total del electrón, este no puede moverse desde A hasta B o viceversa. Pero ya se vio que en mecánica cuántica existe una probabilidad finita de que el electrón atraviese la barrera: se habló del efecto túnel.
El efecto túnel es debido a que no hay una caída súbita de la función de onda que representa al electrón al llegar a la barrera; más bien disminuye suavemente, penetrando en aquella. Al no caer de manera brusca a cero, hay posibilidad de que se extienda más allá de la barrera, que la sobrepase. Hay, en óptica, una analogía de esto: si dos láminas de vidrio de caras planas y paralelas se colocan a una distancia del orden de una longitud de onda, parte del haz luminoso puede pasar de una placa a otra, saltando la discontinuidad entre las placas, aun cuando el ángulo de incidencia de la luz sea para producir reflexión total.
La frecuencia con que el electrón puede saltar la barrera, en el efecto túnel, disminuye cuando aumentan la altura y el ancho de aquella.
En un gas, esos saltos son poco probables, a menos que se presenten colisiones entre átomos. Pero en un sólido, los átomos están en contacto entre sí, y como las barreras de potencial interpuestas son relativamente pequeñas, hay menos resistencia a aquellos saltos, al menos para los electrones de valencia, pues los electrones internos tienen menor energía cinética y las barreras de potencial se hacen impenetrables para ellos.
Es debido al efecto túnel que los electrones de valencia de todos los sólidos pueden moverse de un átomo a otro, lo cual justifica la hipótesis fundamental de la teoría del electrón libre. Pero las solas barreras de potencial no bastarán para explicar la gran diferencia de conductividad entre materiales como el cuarzo y los metales (en estos últimos es del orden de 1024 veces mayor que en aquel). Una tal diferencia no puede explicarse con el simple argumento de que las barreras de potencial son mucho más altas en unas substancias que en otras. Deben presentarse nuevos principios para distinguir entre metales y aisladores.
El asunto puede explicarse considerando de nuevo como ejemplo una red cúbica bidimensional. En ella se supone que las curvas de energía libre contra número de onda, correspondientes a las posiciones de mayor y menor barrera energética, son como se muestra en la figura 3.15a. Como se ve, en el ejemplo es necesario un gran salto energético, en cualquier dirección, y por lo mismo es mucha la diferencia entre la energía máxima de la primera y la de la segunda zona. Un electrón de la primera zona difícilmente puede “ascender” a la segunda, pues requeriría energía del orden de varios electrón-voltios, imposible de suministrar con un voltaje corriente por efectos de la temperatura.
Figura 3.15 a. Posición relativa de las curvas de E-K que señala las lagunas de energía entra las dos primeras zonas de Brillouin. b. Una forma alterna de representar la barrera energética entre las dos zonas en función de la densidad de estados.
En la figura 3.15b se ve un método distinto de graficar las relaciones de energía entre las dos zonas de la figura 3.15a. Supóngase que es el caso de un metal monovalente, y que cada una de las zonas mostradas puede contener un máximo de dos electrones por átomo (como es demostrable en los metales cúbicos). Dado que estos átomos solo tienen un electrón de valencia por cada átomo, los electrones apenas alcanzarán a llenar la mitad de la primera zona, siendo precisamente la mitad del fondo la ocupada en el cero absoluto (esto es lo que está implícito en la figura 3.15b).
Si solo ocurre el llenado parcial de una zona, como en el caso analizado, el sólido será un metal o conductor normal, pues para que una corriente