Estructuras de álgebra multilineal. Joaquín Olivert Pellicer

alt="image"/>, luego f C x × y es conjunto. Esto hace que , es decir que

      Pero el Teorema 2.7 asegura que es un conjunto, puesto que x × y lo es. Entonces apliquemos el Teorema 2.1, y con ello afirmamos que xy es un conjunto.

      2^º Sea B un subconjunto arbitrario de A (B A). Por función característica de B se entiende una aplicación _B : A →{0,1} definida por

      Con esta clase de funciones, definimos la aplicación

       Veamos que es biyectiva :

      Estudiemos en primer lugar la inyectividad de Supo

      Esto hace que si b B se tiene que c^(b) = B^(b) = 1, de donde b C.

      Esto prueba que B C.

      La inclusión contraria se prueba de la misma manera.

      Veamos la suprayectividad: Tomemos f : A→ {0,1}, y definimos B = f-1( 1). Evidentemente

      En lo sucesivo, representaremos el conjunto de partes de un conjunto x indistintamente por o por 2X.

      Proposición 6.7:

       Demostración :

      Simple aplicación del Axioma de extensión y de las definiciones implicadas.

      En cuanto a las leyes de composición diremos que hay de dos tipos: internas y externas. Estas últimas también pueden ser reconocidas por acciones o transformaciones, si poseen propiedades específicas. Estudiemos en primer lugar las primeras :

      Definición 6.8: Una ley de composición interna definida en un conjunto C es una aplicación

      Es costumbre representar estas leyes por los símbolos -, •, + , etc. Así por ejemplo f(a,b) = a • b, o f(a,b) = a * b, o f(a,b) = a • b, o f(a,b) = a + b.

      Enunciamos a continuación a título de definiciones las propiedades más usuales que pueden tener estas leyes :

      Definición 6.9: Se dice que una ley de composición interna posee elemento neutro o elemento unidad e C si

      Si sólo se verifica

      se dirá que e es elemento neutro por la derecha; y si se cumple que

       será el elemento neutro por la izquierda.

      Definición 6.10: Una ley de composición interna se dice que g.oza de la propiedad asociativa si

      Definición 6.11:Sea una ley de composición interna con elemento unidad e, definida en un conjunto C. Se dice que un elemento a C posee elemento simétrico a' si

      En el caso de que se verifique sólo

      se dirá que a' es elemento simétrico de a por la derecha. Del mismo modo se define elemento simétrico por la izquierda.

      Definición 6.12: Una ley de composición interna definida en un conjunto C verifica de la propiedad conmutativa si

      Definición 6.13: Dadas dos leyes de composición internas • definidas en un mismo conjunto C, se dice que la ley • posee la propiedad distributiva respecto a la ley * si para todo a,b,c G C se verifica

      En la práctica no se ponen los paréntesis que aparecen en el segundo miembro, ya que se sobreentiende que el elemento a actúa por separado sobre los elementos b, c mediante la ley •, y luego los resultados se componen con la ley *

      En cuanto a las leyes de composición externas sólo expondremos la definición, pues sus propiedades se irán introduciendo en los casos en que aparezcan :

      Definición 6.14: Consideremos C y D dos conjuntos. Una ley de composición externa de D sobre C es toda aplicación

1.7 Relación de equivalencia

      Definición 7.1: Una relación binaria S es una relación de equivalencia si posee las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva.

      Para expresar que dos elementos a y b pertenecen a la relación de equivalencia , (a,b) , se emplea la notación

      y se lee “a (es) equivalente a b”. También escribiremos

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