Estructuras de álgebra multilineal. Joaquín Olivert Pellicer

conjuntos, entonces {xy} = x y, {xy} = x y.

      2º Si x ó y no son conjuntos, entonces {x} = , {xy} =

      Definición 3.7: Consideremos x, y clases. Se llama par ordenado (x,y) de x e y a la clase

      Como propiedad inmediata que poseen los pares ordenados tenemos

      Proposición 3.8: Un par ordenado (x,y) es conjunto si y sólo si x e y son conjuntos; si (x,y) no es un conjunto, entonces (x,y) = .

      Proposición 3.9: Si x e y son conjuntos, entonces

      En el caso de que lóyno sean conjuntos, (x,y) = , (x,y)= , (x,y) = , y (x,y) = . Obviamos las demostraciones de todas estas propiedades, por ser inmediatas a partir de sus respectivas definiciones.

      Definición 3.10: Sea z una clase. Llamaremos primera componente de z a z; y segunda componente de z a ( z ) (( z) ~ z )

       Teorema 3.11:

      1º Si x e y son conjuntos, la primera componente del par (x, y) es x; y la segunda componente es y.

       2ºSi x ó y no es conjunto, la primera y la segunda componentes de (x, y) son U.

       Demostración :

      1^º La primera componente de (x,y) se obtiene directamente de la

       Proposición 3.9,4º.

      En cuanto a la segunda, calculemos

      Pero

      y sustituyendo

      Si x ó y no es un conjunto, hemos visto que = , decir que la primera componente del par es .

      Calculemos la segunda componente :

      Corolario 3.12: Si x e y son conjuntos y (x,y) = (u, v), entonces x = u, y = v.

      Demostración :

      En virtud de la Proposición 3.8, (x,y) es un conjunto, y por tanto (w, v) también es conjunto. Y la misma proposición conduce a que u y v son conjuntos. El resto de la demostración es aplicación trivial del Teorema 3.11.

1.4 Relaciones binarias

      Iniciamos el estudio de las relaciones binarias. En pocas palabras consisten en algumos tipos de clases de pares ordenados. Daremos en esta Sección sus propiedades generales. A continuación nos dedicaremos a desarrollar las relaciones binarias más importantes como son el concepto de función o aplicación, y el de relación binaria de equivalencia.

      Definición 4.1: Una clase se dice que es una relación binaria si para cada elemento z existen x e y tales que z = (x,y).

      El concepto composición de relaciones binarias viene dado por :

      Definición 4.2: Sean R y S relaciones binarias. Llamaremos R o S a la clase

      Si una relación binaria permite ser compuesta consigo misma de nanera que = o , se dice que posee la Propiedad transitiva.

      De esta última definición se deduce directamente :

      Corolario 4.3: .

      Proposición 4.4:

       Demostración :

      Probemos la segunda. Sea (x,z) . Existe un y de manera que . En consecuencia, (y, z) S, (y,z) T.