Estructuras de álgebra multilineal. Joaquín Olivert Pellicer

que de la definición de la clase vacía es falso que en cambio, sí tiene sentido , en virtud de este teorema.

      Para finalizar esta Sección enunciaremos algunas propiedades más, de las que omitiremos sus demostraciones por considerarlas inmediatas si nos atenemos a las definiciones establecidas.

1.2 Subconjuntos

      Los dos axiomas establecidos en la sección precedente resultan insuficientes para estudiar todas las propiedades de los conjuntos. Así por ejemplo, todavía no podemos saber si las subclases de un conjunto son conjuntos, o que la intersección de dos conjuntos es conjunto. Igualmente desconocemos qué sucede con la unión de dos conjuntos. Necesitamos, pues, de más axiomas. Uno de ellos se refiere a los llamados subconjuntos, que son subclas propias

       III Axioma de subconjuntos

      Si x es un conjunto ,existe un conjunto Y tal que para cada z

      Teorena 2.1: Si x es un conjunto y z x, entonces z es un conjunto.

      Demostración :

      Tomemos un z x. Al ser x conjunto, podemos aplicar el axioma III, con lo que existe un conjunto Y tal que z Y. Esto hace que z sea un conjunto, en virtud de la Definición 1.2.

      Entonces se dirá que z es subconjunto de x.

      Corolario 2.2: no es conjunto.

       Demostración :

      La clase de Russell R es subclase de (falta por ver si coincide con ). Entonces R . Si fuera conjunto, R sería conjunto. Y ello conduciría directamente a la paradoja de Russell. Luego no es conjunto.

      Corolario 2.3: Si una de las clases x, y es un conjunto, x y es un conjunto.

      Demostración :

      Supongamos que x sea un conjunto. De la Definición 1.3, 2- y la Definición 1.14, tenemos que x y x. Entonces el Teorema 2.1 asegura que x y es un conjunto.

      Teorema 2.4: .

       Demostración :

      , resulta que x es un conjunto, y dado que x (Teorema 1.15), sería un conjunto. Ahora bien, de la Definición 1.12,, todo elemento de es elemento de pero según vimos en el Teorema 1.10, no tiene elementos, de lo que resulta que tampoco posee elementos. Por el Axioma de extensión, y son iguales.

      En virtud del Teorema 1.15,

      Veamos la inclusión contraria: , se tiene que x es un conjunto. Por el Axioma de subconjuntos, existe un conjunto y de manera que si z C x, entonces z G y. En particular x G y, y como y G U, por la Definición 1.12, 1^a, x . Esto hace que . Finalmente apliquemos la Propiedad .

      Teorema 2.5: Si , x es un conjunio.

       Demostración :

      Si , existe un . Luego y es un conjunto; pero como x y en virtud de la Propiedad . Resulta del Teorema 2.1