Estructuras de álgebra multilineal. Joaquín Olivert Pellicer

aplicación f : X → Y se dice que es suprayectiva, si para cada y Y, existe un x X tal que

      En virtud de la Proposición 5.5, la aplicación identidad es única.

      Proposición 5.8: Consideremos f, g dos aplicaciones tales que

      Entonces g es inyectiva y f suprayectiva. Demostración :

      Consideremos

      y componemos con f

      de donde

      Luego g es inyectiva en virtud de la Definición 5.2.

      Dado un x existe un y = g(x) que verifica

      Luego f es suprayectiva.

      Teorema 5.9: .

       Demostración :

      Consideremos x def f, entonces

      pero como

      Si x def f,

      entonces

      y en virtud del Teorema 2.5 f(x) es conjunto. Esto hace que f(x) .

      Para terminar enunciamos, sin demostrarlas, unas relaciones que poseen las aplicaciones, y que proponemos al lector como ejercicios :

      Proposición 5.10: Sean A, B, A', B' conjuntos y f una aplicación,

       Tomemos a continuación f.X >Y, entonces :

      Terminemos esta sección introduciendo el concepto de biyección :

      Definición 5.11: Una aplicación que sea a la vez inyectiva y suprayectiva se dice que es una aplicación biyectiva o es una biyección.

1.6 Producto cart esiano y leyes de composición

      Para desarrollar los conceptos enunciados necesitamos un sexto axioma :

       VI Axioma de amalgamación

       Si x es conjunto, también lo es x.

      Definición 6.1: Sean x e y dos clases. Se llama producto cartesiano de x e y a la clase de pares ordenados dada por

      Teorema 6.2: Si u e y son conjuntos, también lo es {u} × y.

       Demostración :

      Construyamos una aplicación f: Y → {u} × y, cuya gráfica es

      Entonces def f = y e Im f = {u} × y. Y por el Axioma de sustitución, {u} × y es conjunto.

      Teorema 6.3: Si X e Y son conjuntos, X × Y es conjunto.

       Demostración :

      Definamos la aplicación

      Debido al Axioma de sustitución, Im f es conjunto. Finalmente el Axioma de amalgamación conduce a que Im f es también conjunto, de donde

      y por tanto X × Y es conjunto

      Corolario 6.4: Si A es una aplicación y def A un es conjunto, A (entendiendo como relación binaria, y por tanto una clase) es un conjunto.

       Demostración :

      Puesto que Im A también es conjunto, def A × Im A es un conjunto. Esto hace que

      Y el Teorema 2.1 permite asegurar que A es un conjunto.

      Definición 6.5:

       Proposición 6.6:

       1º Si x e y son conjuntos, xy es también un conjunto.

      2º Dado A un conjunto, representaremos por 2^A el conjunto {0,1}^A Entonces existe una aplicación biyectiva entre .

       Demostración :

      1^º Tomemos f