Данные эквивалентности можно выразить более компактно, а формы эквивалентных суждений – более ясно, если принять еще некоторые конвенции относительно символов. Пусть р означает антецедент условного суждения, a q – его консеквент. Любое условное суждение может быть формализовано как (р ⊃ q). Данные эквивалентности тогда могут быть записаны следующим образом:
(р ⊃ q) ≡ (q′ ⊃ р′) ≡ (р′∨ q) ≡ (p . q′)′
В главе VII мы рассмотрим эквивалентности между системами суждений. Однако на данном этапе можно предложить пример двух суждений, являющихся эквивалентными в силу своего места в определенной системе. Пусть р = «в физике Ньютона свет отражается от поверхности так, что угол падения равен углу отражения» и пусть q = «в физике Ньютона свет отражается от поверхности так, что его путь является минимальным». Суждения р и q эквивалентны.
§ 4. Традиционный квадрат противопоставлений
Традиционное понимание противопоставления между суждениями отличается от предложенного нами понимания. Поскольку в традиционном подходе все суждения были разложимы на субъект и предикат, противопоставлялись только суждения субъектно-предикатной формы. Противопоставление сложных суждений не рассматривалось, а описание противопоставления единичных суждений было в крайней степени неудовлетворительным.
В этом параграфе мы исследуем традиционный подход к противопоставлению. Согласно этому подходу, два суждения противопоставляются, если у них одинаковые субъект и предикат, но они отличаются по качеству, количеству или тому и другому.
Рассмотрим четыре суждения:
А. Все республики являются неблагодарными.
Е. Не одна республика не является неблагодарной.
I. Некоторые республики являются неблагодарными.
О. Некоторые республики не являются неблагодарными.
Когда мы обсуждали экзистенциальную нагруженность суждений, мы говорили, что общие суждения не требуют существования республик, тогда как частные – требуют. Следовательно, мы не можем без дальнейших допущений выводить истинность суждения типа! из истинности суждения типа А. Для того чтобы это стало возможным, нам нужно в этом параграфе раз и навсегда исследовать следствия данной гипотезы.
Среди вышеперечисленных четырех суждений нет таких двух, которые были бы независимы друг от друга или эквивалентными друг другу. Однако из возможных девяти отношений между этими суждениями мы можем усмотреть пять. Для этого удобнее использовать схематические изображения суждений.
1. Суждения «все республики являются неблагодарными» и «некоторые республики не являются неблагодарными» не могут вместе быть истинными и не могут быть вместе ложными. Из истинности одного можно обоснованно