Наконец, суждение «суверенитет являет собою волю народа как целого, либо только одной его части» является дизъюнктивным и может быть выражено как «суверенитет является волей народа как целого или он является волей одной его части». Поскольку данное суждение эквивалентно строго дизъюнктивному суждению, противоречить ему будет следующая конъюнкция: «суверенитет не является волей народа как целого и он не является волей одной его части».
Из сказанного следует, что суждение, противоречащее условному суждению, а также строгой или нестрогой дизъюнкции, всегда может быть выражено в форме конъюнкции.
С другой стороны, суждение, противоречащее конъюнкции, является либо условным, либо дизъюнктивным, либо строго дизъюнктивным суждением. Символьная запись выражает отношения между сложными суждениями в более компактном и точном виде. Поскольку
(р ⊃ q) ≡ (q′ ⊃ р′) ≡ (р′∨q) ≡ (p . q′)′,
суждение, противоречащее любому из приведенных, будет противоречить каждому из них. Следовательно,
(р ⊃ q)′ ≡ (q′ ⊃ р′)′ ≡ (р′∨q)′ ≡ (p . q′).
Иными словами, суждением, противоречащим суждению «если р, то q», будет «р и q′»; суждением, противоречащим суждению «р или q», будет «р′ и q′»; суждением, противоречащим суждению «неверно, что вместе р и q», будет «р и q».
Читателю следует обратить внимание на эквивалентность (р′ ∨ q)′ ≡ (р . q′). Данное отношение является абсолютно общим, и совершенно неважно, какие суждения мы подставим вместо символов. Поэтому подставим «r» вместо «р′». Тогда вместо «p» будет подставлен символ «r′». И тогда мы получим:
(r ∨ q)′ ≡ (r′. q′).
Данное отношение известно как теорема де Моргана. В ней утверждается, что отрицанием дизъюнкции (или суждением, противоречащим дизъюнкции) является конъюнкция, в которой конъюнкты противоречат соответствующим им дизъюнктам. В иной форме данная теорема выглядит следующим образом:
(р . r)′ ≡ (p′ ∨ r′).
Здесь утверждается, что отрицанием конъюнкции является дизъюнкция, в которой дизъюнкты противоречат соответствующим конъюнктам.
Мы удостоверились в том, что специально введенные символы существенным образом способствуют более ясному выражению логической структуры суждений, которая скрывается за громоздкостью обыденного языка. Вследствие этого читатель, несомненно, согласится с тем, что символы не препятствуют, а скорее способствуют пониманию. Обобщающая сила современной логики, равно как и современной математики, возможна во многом благодаря адекватности символической записи, принятой в этих дисциплинах.
В качестве проверки усвоения этой записи предложим читателю привести противоречащее суждение для суждения «некоторые люди – бедные, но честные». Следует понимать, что сила слова «но» в данном суждении заключается в том, что бедные чаще всего являются бесчестными,