В результате уравнение регрессии для степенного тренда (см. табл. 2.7) приобретет следующий вид (2.22):
Следует иметь в виду, что приведение нелинейной функции к линейному виду с помощью логарифмирования используется очень часто, хотя это и приводит к некоторым коллизиям. Вот что пишут по этому поводу Е. М. Четыркин и И.Л. Калихман: «Однако такое преобразование приводит к тому, что оценка параметров базируется не на минимизации суммы квадратов отклонений, а на минимизации суммы квадратов отклонений в логарифмах. …Следствием этого является некоторое смещение оценок параметров, получаемых обычным (линейным) МНК». (см. Четыркин Е. М., Калихман И.Л. Вероятность и статистика. – М.: Финансы и статистика, 1982, стр. 255).
Далее параметры этого уравнения регрессии находятся согласно формулам (2.1.4) и (2.1.5), либо решаются с помощью соответствующей компьютерной программы.
Поэтому прежде чем приступить к выполнению алгоритма действий № 3 «Как решить уравнение регрессии в Excel», нужно взять натуральные логарифмы (логарифмы, основанием которых служит число e= 2,71828), как от независимой переменной х – порядковый номер месяца, так и от зависимой переменной у – курс доллара. В Excel для этих целей можно воспользоваться функцией LN. Далее поступаем в полном соответствии с алгоритмом действий № 3, а данные, полученные после решения уравнения регрессии, занесем в таблицу 2.8.
Таблица 2.8. ВЫВОД ИТОГОВ уравнения регрессии, полученного после логарифмирования исходных данных
Согласно алгоритму действий № 4 «Оценка статистической значимости уравнения регрессии и его коэффициентов», проведем проверку статистической значимости данного уравнения регрессии. При этом выделим в таблице 2.8 все важнейшие пункты жирным шрифтом. В результате мы пришли к выводу, что у нас получилось статистически значимым как уравнение регрессии, так и его коэффициенты, как при 95% , так и 99% уровнях надежностях. Правда, поскольку данное уравнение регрессии мы решили относительно натуральных логарифмов, взятых от исходных данных, то в результате оно приобрело следующий вид:
Ln Y=-3,1154+1,28073 lnX
Согласно последнему уравнению регрессии, прогноз курса доллара рассчитывается на основе логарифмов, взятых от исходных данных. Например, прогноз относительно апреля 2010 г. вычисляется следующим образом:
Ln Y=-3,1154+1,28073* 5,370638= 3,762939; где 5,370638=ln(215) – натуральному логарифму от порядкового номера апреля 2010 г. =215.
Отсюда находим (в Excel потенцирование натуральных логарифмов производится с помощью функции EXP), прогноз курса доллара на апрель 2010 равен:
Y=EXP(3,762939)= 43,07482
После проведения соответствующих преобразований, вышеуказанное уравнение регрессии приобретет следующий вид:
Y=EXP(-3,1154 + 1,28073 lnX)= 0,044361*X^1,28073
С помощью последнего уравнения регрессии можно делать расчет прогнозов непосредственно от исходных данных, а не от их натуральных логарифмов. В результате прогноз курса на доллара на апрель 2010 г. можно вычислить следующим