Выражение «арифметическое доказательство всегда имеет тот род, о котором идет доказательство» означает, что во всяком арифметическом доказательстве принимается один и тот же род в общем смысле, то есть для всех арифметических доказательств принимается одно и то же подлежащее.
p. 75b10 Иной способ [переноса доказательств] невозможен, что очевидно: ведь крайние [термины] и средние необходимо должны принадлежать к одному и тому же роду.
[Аристотель] показывает, что невозможно иным способом переносить доказательства из одной науки в другую, следующим образом. Поскольку в доказательстве принимаются три термина – два крайних и один средний, то все три термина, говорит он, необходимо должны быть взяты из одного и того же рода: в арифметике – из чисел, в геометрии – из величин, и аналогично в других [науках]. Ведь заранее предполагается, что крайние термины должны сказываться друг о друге по своей сути, а средний термин должен быть подлежащим для одного [крайнего] и предикатом для другого. Следовательно, если они не будут взяты из одного и того же рода, они не будут принадлежать друг другу по сути, а лишь по случайному совпадению.
p. 75b12 Поэтому в геометрии нельзя доказать, что противоположности познаются одной наукой, и даже что два куба составляют куб.
Доказать, что противоположности познаются одной наукой, – это не относится к геометрии, поскольку термины взяты не из предметов геометрии, а к диалектике, которая, подражая первой философии, стремится доказать всё, как если бы всё ей подчинялось. Точно так же и доказательство, что два куба составляют куб, не относится к геометрии, а скорее к стереометрии: геометрия имеет дело с плоскими фигурами, а стереометрия – с объёмными.
Что касается утверждения, что два куба – это один куб, то здесь возникает вопрос: как же сделать из двух кубов один? Или же здесь вспоминается известная история. Когда делосцев поразила чума, бог повелел им избавиться от неё, удвоив жертвенник, который был кубом. Они же, взяв другой равный куб, поставили его на жертвенник. Но чума не прекратилась, и бог объявил, что они не выполнили повеление: он велел удвоить жертвенник, а они поставили куб на куб. Тогда они пришли к Платону, спрашивая, как удвоить куб. Тот ответил: «Похоже, бог укоряет вас за пренебрежение геометрией».
Удвоение куба, говорит он, можно найти, если между двумя отрезками вставить два средних пропорциональных. Эту задачу он предложил своим ученикам, и некоторые из них написали о её решении.
Геометр доказал, что если три отрезка пропорциональны, то как первый относится к третьему, так квадрат, построенный на первом, относится к квадрату, построенному на втором. Однако