…
23. Parallelle er de rette linjer, som ligger i samme plan og, når de forlængesubegrænset til begge sider, ikke mødes til nogen af siderne.
Aksiomer
1. Man kan trække en ret linje fra et hvilket som helst punkt til et hvilket som helst punkt.
…
4. Alle rette vinkler er lige store.
5. Når en ret linje skærer to rette linjer, og de indvendige vinkler på samme side er mindre end to rette, så mødes de to linjer, når de forlænges ubegrænset, på den side, hvor de to vinkler ligger, der er mindre end to rette.
Af nr. 5 følger, at hvis de to omtalte vinkler er lig med to rette, så mødes linjerne ikke – hvor meget de end forlænges. Dette omtales som Euklids parallelaksiom i den senere diskussion om matematikkens grundlag.
Euklids Elementer udgør, hvad man kalder for et aksiomatiskdeduktivt system, bestående af grundsætninger (aksiomer) og følgesætninger (teoremer). Efter renæssancen blev det for mange et forbillede på, hvordan en videnskabelig teori burde formuleres.
Inden for naturvidenskaberne har det vist sig, at der er grænser for, hvad man kan indordne i aksiomatisk-deduktive systemer, men vi skal lægge mærke til her, at Elementer repræsenterer et andet nyt skridt i den menneskelige tænknings udvikling, nemlig kohærenstænkningen. Det er han ikke ene om. Netop i tiden fra 400 til 300 f.Kr. bliver det almindeligt at søge efter en indre kohærens, sammenhæng, mellem de mange nye opdagelser inden for matematik, geometri og teoretiske overvejelser i forbindelse med viden hvordan. Euklid kombinerer alle de praktiske geometriske lovmæssigheder, som man betjente sig af ved byggeri, ved opmåling af marker og byggegrunde etc., så at man kan se, at de ikke er tilfældige situationsbestemte forskrifter, men derimod indbyrdes afhængige sandheder. Når stenaldermennesket generaliserer fra, at en svamp med bestemte karakteristika er giftig, til at alle svampe, der ligner, også er det, er det naturligvis en slags kohærenstænkning, der spirer her, men denne viden at forudsætter ikke mere end den blotte generalisering. Det samme gælder viden hvordan. Så kohærenstænkning er et nyt skridt på vejen frem mod en videnskabelig erkendelse og verdensforståelse.
Dertil kommer Euklids demonstration af, at den matematiske erkendelse består i en abstrakt, billedløs, uanskuelig tænkning. Vi kan jo ikke forestille os et punkt uden udstrækning eller en linje uden bredde. Men vi kan tænke det. Hvis ikke det var tilfældet, ville geometri være en rent empirisk videnskab.
Indirekte bevisførelse. Hos Euklid finder vi endnu en ny ting i grækernes forskning, nemlig den såkaldte indirekte bevisførelse. Et berømt eksempel er hans bevis for, at der ikke findes et største primtal. Kunne der ikke findes et, som er det sidste og dermed største? Begrundelsen for at stille det spørgsmål forstår vi, når vi ser nærmere på fordelingen af primtal. Hele beviset er så ligetil, at selv læsere med matematik-skræk sagtens kan forstå det. Så se nu her:
Ved primtal forstås positive, hele tal, der kun kan deles restløst med 1 og tallet selv. Eksempler på primtal er 3, 5, 7, 11, 13, 17. Tal som 8, 16, 25 og 27 er ikke primtal. 8 kan opløses i 2 × 2 × 2, 16 kan opløses i 2 × 2 × 2 × 2, 25 kan opløses i 5 × 5 og 27 kan opløses i 3 × 3 × 3.
Ethvert tal, som ikke er et primtal, kan opløses i primfaktorer uden rest (er et multiplum af primtal).
Ser vi på tallene fra 1 til 100 finder vi følgende primtal: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. Der er ikke noget system i den måde, primtallene fordeler sig på, og der findes ikke nogen formel, ud fra hvilken man kan producere primtal. Man må “botanisere” sig frem, undersøge tallene ét for ét for at se, om de er primtal eller ej. Men da talrækken er uendelig, bliver man selvsagt aldrig færdig med en sådan undersøgelse.
Det viser sig, at hyppigheden af primtal aftager, jo længere man kommer hen i talrækken. Så det spørgsmål melder sig, om primtallene ophører, når man kommer op på meget store tal, f.eks. tal, der skrives med hundrede tusinde, en million eller en milliard cifre. Er der et største primtal, et sidste i talrækken? Eller vil der vedblivende dukke primtal op, hvor langt vi end tæller frem i talrækken? Kan mennesker overhovedet besvare dette spørgsmål? Ja, det kunne Euklid. Han beviste, at rækken af primtal er uendelig. Der findes ikke noget største primtal. Uanset, hvor store de fundne er, vil man altid kunne finde ét, som er endnu større.
Argumentationen er i første omgang følgende: Hvis man ganger primtallene med hinanden fortløbende og lægger 1 til produktet, får man et nyt primtal. Eksempler: 1 × 2 × 3 = 6. Lægger man 1 til, får man 7, som er et primtal. 1 × 2 × 3 × 5 = 30. Lægger man 1 til, får man 31, som er et primtal. 1 × 2 × 3 × 5 × 7 = 210. Lægger man 1 til, får man 211, som er et primtal. 1 × 2 × 3 × 5 × 7 × 11 = 2310. Lægger man 1 til, får man 2311, som er et primtal. Hvis man opløser et givet tal n i primfaktorer, og der bliver 1 til rest, må n være et primtal. Men bemærk, at vi her har et induktionsproblem: Resultatet bygger alene på erfaring, empiri, og det kan jo ikke udelukkes, at man et eller andet fjernt sted i talrækken støder på et tilfælde, hvor reglen ikke gælder.
Euklids bevis er indirekte. Han antager, at der er et endeligt antal primtal. Derpå viser han, at denne antagelse fører til en uløselig selvmodsigelse, hvorfor den må være forkert – uantagelig. I stedet for at remse rækken af primtal op fra en ende af, skriver vi:
P1, P2, P3, P4, P5, …… Pn.
(P1 står altså for tallet 1, P2 for tallet 2, P3 for tallet 3, P4 for tallet 5, P5 for tallet 7 osv. op til Pn, som står for det største/ukendte primtal). Euklid antager altså, at der er et bestemt antal primtal, nemlig n. Vi kan nu gange alle primtallene med hinanden:
P1 × P2 × P3 × P4 × P5 × …. × Pn.
Vi får så et tal – hvad det nu end bliver. Til dette tal lægger vi nu 1, så at vi får:
(A) P1 × P2 × P3 × P4 × P5 × …. × Pn + 1.
Om dette tal må det gælde, at det enten er et primtal eller ikke er et primtal. Vi prøver begge muligheder.
(1) Vi antager, at (A) er et primtal. Men denne antagelse fører os ind i en modsigelse, for vi begyndte jo med at antage, at Pn var det største primtal, og (A) er jo større end Pn.
(2) Vi antager, at (A) ikke er et primtal. Men hvis dette er tilfældet, så skulle (A) jo kunne dannes som et produkt af alle de kendte primtal. Men det kan (A) jo ikke, for opløser man (A) i alle de primtal, som er brugt til at producere (A), bliver der 1 til rest. Så hvis (A) ikke er et primtal, må der være et primtal udover primtallene fra P1 til Pn, som går op i det. Og så er der et primtal, der er større end Pn. Men også denne konklusion er i modstrid med den antagelse, som vi gik ud fra: At der er et bestemt (endeligt) antal primtal, nemlig n.
Eftersom der ikke findes andre muligheder end (1) og (2), så må den oprindelige antagelse, at der findes et endeligt antal primtal være forkert. Altså er antallet af primtal uendeligt. Uanset, hvor stort det fundne er, vil man altid kunne finde ét, som er endnu større.
Man kommer næppe uden om, at Euklids bevis for, at der ikke findes et største primtal, må ses som et lysende eksempel på det, man lidt romantisk kan kalde for “tankens magt”. Talrækken er uendelig, og går man rent empirisk til værks, ser man, at der bliver længere og længere mellem primtallene, jo længere man når frem i talrækken. Så kunne det ikke tænkes, at hvis man nåede frem til ikke blot tallet en milliard, men langt længere frem til et tal, der har en milliard cifre, og som vi aldrig nogensinde ville kunne tænke os frem til inden for et menneskeliv, om så vi kunne tælle tusind tal i sekundet – kunne det ikke tænkes, at der i alt, hvad der fulgte efter, aldrig