KAPITEL 4
NOGLE HØJDEPUNKTER I GRÆSK TÆNKNING
Abstraktion – en ny form for tænkning. Rationalitetens gennembrud i oldtidens Grækenland finder sted omkring 500 f.Kr., men der er naturligvis tale om en lang proces, og det, vi omtaler som den græske videnskab, er al den tænkning, alle de iagttagelser, teorier og metoder, som udvikledes over en periode på næsten 700 år. Her kan vi iagttage en del trin på vejen fra viden hvordan til viden hvorfor, men som allerede nævnt er der ved det sidste trin fra hvordan til hvorfor så at sige et tankemæssigt spring.
Det begynder, så vidt vi ved, med de såkaldt ioniske naturfilosoffer, der levede omkring 600 til 500 f.Kr. i de græske bystater i Ionien, det nuværende Tyrkiets vestkyst. Her kender vi en smule til tre filosoffer, som man i eftertidens Grækenland nævner som de første store tænkere: Thales, Anaximander og Anaximenes. En af de ting, vi ved om dem, er, at de søgte det generelle, der karakteriserede de enkelte tilfælde. Når jeg formulerer det sådan, kunne det lyde, som om de blot generaliserede fra enkelttilfælde til alle tilfælde af samme art – som når stenaldermennesket generaliserede fra oplevelsen af nogle svampe som giftige, til at alle svampe af samme udseende måtte være det, men sådan forholder det sig ikke. De nævnte ioniske filosoffer abstraherede – en tankeform, der i en vis forstand er en modsætning til generalisering.
Når de f.eks. iagttog forskellige former for trekanter, mente de, at man måtte kunne finde noget fælles for dem, nemlig at det for dem alle måtte gælde, at vinkelsummen er 180 grader. Ligeledes mente de, at det måtte gælde for alle trekanter, der indskrives i en halvcirkel, at de må være retvinklede. Her har vi den første refleksion over geometrien, som nu pludselig ikke længere blot var noget “tankemæssigt værktøj”, som hos ægypterne og babylonerne, men nu blev til et forskningsobjekt i sig selv.
På tilsvarende vis forsøgte de uden om alle religiøse forestillinger at tænke sig til noget alment, hvoraf alt andet eksisterende var opstået. Vi ved ikke med sikkerhed, hvad Thales har ment, da han hævdede, at alt oprindeligt var vand, eller hvad Anaximander mente med, at det oprindelige var det formløse stof, apeiron, eller hvad Anaximenes mente med, at luft var det oprindelige. Der er mange fortolkninger af disse uklare gengivelser af deres tænkning, men uanset fortolkningerne har formålet åbenbart været at fatte det uforanderlige bag det foranderlige, fatte det fælles for alt eksisterende. Det er samme bestræbelse, vi træffer hos de samtidige kinesiske taoister, der mener, at der oprindelig blot var Tao, det som ikke kan benævnes, fordi det er altomfattende og derfor ikke står i modsætning til noget. Som sagt er der her ikke tale om en generalisering, men tværtimod om en abstraktion, en helt ny form for tænkning.
Når stenaldermennesket havde erkendt en svamp som giftig, måtte han nøje indprente sig alle kendemærker, egenskaber ved svampen, størrelse, farven, formen osv. Men når de græske filosoffer søgte efter det fælles ved alle former for trekanter, måtte de ved betragtning af den individuelle trekant se bort fra så mange egenskaber ved den som muligt: sidernes længde, trekantens størrelse, tykkelsen af stregerne osv. Og tilsvarende når det gjaldt for alt eksisterendes fællesnævner.
Talteori. En anden ting, som er en konsekvens af den abstraherende tænkning, er den talteori, som udvikledes i den pythagoræiske skole i byen Kroton i Syditalien. Vi ved ikke noget om Pythagoras – han formodes at have levet omkring 500 f.Kr. – men der var altså en kreds af tænkere, som må have haft ham som deres første “profet”. Pythagoras tillægges som nævnt også beviset for den læresætning, der bærer hans navn. Læresætningen går ud på, at kvadratet på hypotenusen i en retvinklet trekant er lig med summen af katedernes kvadrater. Som nævnt ovenfor må såvel ægyptere som babylonere have kendt denne sætning og brugt den som regneregel, men efter sigende skulle Pythagoras gennem abstrakt tænkning have bevist, at den må gælde for enhver retvinklet trekant.
Vor viden om denne tidlige periode i grækernes tænkning er meget begrænset, men en af pythagoræernes opdagelser er sikker nok, nemlig opdagelsen af de harmoniske talforhold i musikken. Hvis man f.eks. tager en violinstreng – grækerne havde lyre-strengen – og fæstner den udspændt, vil den frembringe en bestemt tone, hvis man knipser på den. Hvis man nu tager det halve af strengen, vil den i udspændt stand afgive en tone, der akkurat er oktaven over den oprindelige. Tager man
Figur 4: Pythagoras
Den pythagoræiske læresætning lyder: I en retvinklet trekant er kvadratet på hypotenusen (den side, der ligger over for den rette vinkel) lig med summen af kateternes (de to andre siders) kvadrater. F.eks. kan den ene katete være 3 cm lang, den anden 4 cm, og hypotenusen 5 cm, og vi får da 32 + 42 = 52.
Det er en ret så fascinerende opdagelse, for den viser jo, at noget som vi pr. øre og hørelse finder smukt og harmonisk, grunder sig på lydindtryk, der er baseret på nogle elementære matematiske forhold. Opdagelsen medførte en hel del talmystik hos pythagoræerne, som umiddelbart troede, at der lå elementære talforhold bag alle mulige oplevelser. Den medførte også, at musik hele tusind år frem blev regnet for en matematisk disciplin. På de europæiske universiteter, der blev grundlagt fra omkring slutningen af 1100-tallet og fremefter, var noget af arven fra grækerne fag på grunduddannelsen. Her havde man til langt op i 1600-tallet to faggrupper: Trivium, der omfattede logik, dialektik og retorik, og Qvadrivium, der omfattede astronomi, geometri, algebra og musik.
I de fleste filosofihistorier kan man læse, at pythagoræerne også opdagede, at √2 er et irrationelt tal, og at et medlem af deres “skole” på skammeligste vis offentliggjorde dette på torvet i Athen. Det burde han ikke have gjort, var der nogle der mente, for det underminerede pythagoræernes filosofi om, at alt måtte kunne beskrives med hele tal i forhold til hinanden – som tilfældet var ved intervallerne i musik. Det endelige bevis for, at √2 er et irrationalt tal, får vi langt senere i matematikkens historie, men hvad grækerne erkendte var, at diagonalen i et kvadrat ikke kan måles med sidens længde, uanset hvor meget man fin-inddeler siden i måleenheder.
Aksiomatik. Omkring 300 f.Kr. udkom et videnskabshistorisk set epokegørende værk: Euklids Elementer.1 Vi ved ikke noget om Euklid og ordet “udkom” betyder i denne forbindelse ikke noget med forlag, oplag og boghandel. Grækerne skrev deres afhandlinger i hånden på det fra Ægypten importerede papyrus, og når en forfatter havde skrevet en afhandling, samlede han en flok elever, som så skrev hver sin kopi af afhandlingen efter forfatterens diktat. Kopierne cirkulerede derpå i de græske bystater, hvor der igen opstod en række nye afskrifter, hvis man fandt afhandlingen interessant.
Euklids Elementer er en systematisk opsummering af alt, hvad man vidste om geometri på den tid, og her må man formode, at han selv har leveret et stort bidrag. Hvordan systematisk? Jo, Euklid viser, at man kan opstille et forholdsvis lille antal grundsætninger – aksiomer kalder man sådanne – ud fra hvilke man så kan udlede alle geometriens love og regler ved almindelig logisk slutning, det vi kalder deduktion. Og forud for opstillingen af aksiomerne anfører Euklid en nøje definition af alle grundbegreber, så hele den plangeometri, som er det, der behandles, fremstår som et mesterværk i klarhed. Elementer er inddelt i seks afsnit, som hver indledes med et sæt af aksiomer.
Som eksempel anfører jeg her nogle af definitionerne – der er i alt 23 – og aksiomerne, som indleder det første kapitel:
Definitioner
1. Et punkt er det, som ikke kan deles.
2. En linje er en længde uden bredde.
3. En linjes grænser er punkter.
4. En ret linje er en linje, som ligger lige mellem punkterne på den.
…
11. En stump vinkel er en,