Donde
Siendo:
Reemplazando:
Derivando ahora ambos miembros con respecto a P, se obtiene lo siguiente:
En la última expresión, la derivada que aparece en primer lugar en el segundo término del segundo miembro es:
Operando:
Reemplazando en el segundo miembro de la derivada de vP con respecto a P:
Operando en el primer miembro para expresar en función de elasticidades:
En el óptimo, ambos miembros deben ser cero, lo que significa, en el caso del primero, que:
Y por lo tanto:
Esto significa que, cuando se alcanza el óptimo, cualquier aumento porcentual en los precios reduce en el mismo porcentaje el margen de ganancias. En el caso del segundo miembro:
O sea:
El segundo miembro, conforme operaciones realizadas anteriormente, se sabe que es igual a:
Por lo tanto, se verifica que:
Esto es, si existe la función inversa de demanda, su pendiente, cuando la brecha entre el precio y el costo medio es máxima, es igual a la tangente geométrica de esta última curva, lo que exige que ambas sean paralelas en ese punto.
A su vez, como la curva de demanda y su inversa tienen ambas pendiente negativa, la curva de costos medios, CMe, en ese tramo, debe tener pendiente negativa; lo que desde luego no se considera que se trate de un caso general sino válido solo para algunos tipos de productos que exigen plantas muy grandes conforme el tamaño de la demanda, si bien en los textos suele tomarse un tramo decreciente para CMe.
Gráficamente, se tiene lo siguiente, de acuerdo con lo expresado recientemente en palabras:
Como se aprecia en el gráfico, cuando las empresas aumentan P —no como consecuencia de producir más sino simplemente de cobrar más por su producto— la cantidad demandada se reduce, lo mismo que los costos medios en el tramo creciente de CMe, y la brecha con relación a los precios aumenta. Nótese que la brecha podría seguir aumentando en el tramo decreciente de la curva de costos medios si hay empresas que operen sobre tal tramo, como recién se analizó. Por otra parte, cuando se presenta el caso general de costos medios y marginales crecientes, el óptimo para el margen de ganancias no puede encontrarse en el tramo decreciente de la curva de costos medios sino en su valor mínimo.
-Distintos tipos de márgenes de beneficios
Hasta aquí se ha hablado de el margen de beneficios. Sin embargo, estrictamente, existen dos márgenes. Uno, que hace referencia al que se presenta entre el CMe y el CMg en situaciones en que no hay homogeneidad lineal en la función de producción; consecuentemente existe una distancia entre este último y el costo unitario, considerando que ambos tipos de costos son crecientes (véase el tema anterior). Por otra parte, existe un segundo tipo de margen de ganancias, que se presenta cuando las formaciones de precios son de tipo monopólico, también con funciones de producción no lineales, y en tal caso las empresas pueden enfrentar una brecha entre el precio y los costos marginales, lo que les proporciona este segundo tipo de beneficios que se añade al anterior. Formalmente:
El significado del par de ecuaciones propuesto es que, para el caso de la primera ecuación, la cual se presenta cuando las empresas equiparan el precio al costo marginal al estar en situación competitiva, los beneficios por sobre los costos estarían dados solamente por el precio menos los costos medios, todo ello multiplicado por la cantidad producida. En la segunda ecuación, se generan también beneficios que en este caso corresponden a la diferencia entre el precio, dado por la curva de demanda, menos los costos marginales, todo ello multiplicado también por la cantidad producida. Sumando ambas ecuaciones, se tiene el siguiente resultado, eliminando Q que es común y reduciendo a continuación términos iguales:
El precio que cuenta es P2, que simplemente se referirá como P; dividiendo ambos miembros por P, denominando P´ a P1 y v´a v1:
Como se observa, el margen de ganancias prescinde del costo marginal y coincide con el concepto del margen de beneficios dado por el valor del producto menos los costos totales, divididos por el valor del producto total.
Por otra parte, en la regla práctica de los libros de texto, conforme la expresión siguiente, es evidente que el margen de ganancias, identificado como:
es equivalente al que se obtiene calculando la distancia entre la curva de demanda y la de CMg.
Sin perjuicio de lo anterior, sin embargo, en tal caso se omite la que existe entre esta última curva y la curva de costos medios, como se ilustra en el gráfico que se propone a continuación, omisión que se debe a que se considera —a diferencia de criterio que aquí se sigue— que la empresa opera sobre el tramo decreciente de sus costos medios. Es importante destacar que en los textos se opera justamente con una curva de CMe en forma decreciente —aunque el CMg se considera ya creciente— lo que es cuanto menos curioso, ya que las curvas de PMe y PMg se consideran decrecientes. El gráfico es el siguiente:
En el gráfico, la curva