У 409–325 роках до н. е. Діофант ввів знак рівності і вперше використав символічну мову алгебри.
Джон Непер
За 400 років до н. е. Арістотель заклав основи математичної логіки. Він ввів поняття змінної у логіці, застосував букви для позначення понять.
Математик аль-Хорезмі (близько 820 року н. е.), автор фундаментальної книги «Аль-джебр аль-мукабала» (від її назви виникло слово «алгебра»), ввів поняття алгоритму і десяткову систему числення.
В Європі в IX–X століттях розповсюджуються арабські цифри, в яких є поняття нуля та позиційності. Поступово вони замінюють римські цифри, але остаточно це відбулося лише у XVII столітті.
У XV столітті в Європі настає епоха Відродження. Разом із широким розповсюдженням азартних ігор набуває розвитку теорія ймовірності.
Але абаком та рахівницею механічні прилади для полегшення підрахунків не обмежуються. Наступним приладом для рахування була логарифмічна лінійка, яка з’явилась у XVII столітті. Шотландський лорд математик Джон Непер у 1614 році опублікував працю «Опис дивовижної таблиці логарифмів» про логарифми і склав їх таблиці, а також ввів поняття десяткової коми. Його винахід і було використано в 1622 році англійцем Вільямом Оутредом при створенні прямокутної логарифмічної лінійки, а в 1914 році Річардом Деламейном при створенні кругової логарифмічної лінійки.
Логарифмічна лінійка була дуже зручна для проведення простих обчислень, які не потребували високої точності. Якщо рахівниця використовувалась для додавання та віднімання, то логарифмічна лінійка довгі роки була незамінною для виконання множення, ділення, добування кореня, зведення в ступінь. Її широко використовувало не одне покоління інженерів та наукових працівників. Але варто зауважити, що рахівниці і логарифмічні лінійки – це тільки прилади, які допомагають людині робити обчислення, але ще не машини.
«Винахід логарифмів, який скоротив обчислення від декількох місяців до декількох діб, немов подвоює життя астронома», – писав французький математик та астроном П. С. Лаплас.
Перші документовані спроби створення машини для обчислень відносять до початку XVI століття. У рукописах видатного італійського живописця, скульптора, ученого інженера Леонардо да Вінчі (1452–1519), які було знайдено у 1967 році, є проект тринадцятирозрядної механічної обчислювальної машини. Також у листах та спогадах сучасників збереглися відомості про машину німецького професора Вільгельма Шиккарда (1592–1636), яка була виготовлена у 1623 році, але згоріла під час пожежі.
Блез Паскаль
Незважаючи на існування більш ранніх розробок, першою механічною лічильною машиною вважається автомат, який створив видатний французький учений Блез Паскаль (1623–1662) у 1642 році (за деякими даними, у 1641 році). Паскаль задумав створити механічну рахівницю, щоб полегшити