Die beiden gemischten partiellen Ableitungen 2. Ordnung
Das ist lästig, denn selbst eine reellwertige Funktion von nur zwei Variablen hat zum Beispiel schon acht möglicherweise unterschiedliche partielle Ableitungen 3. Ordnung, die Sie im Prinzip alle einzeln berechnen müssen.
Stetigkeit heilt das: Der Satz von Schwarz
Im Zusammenhang mit höheren partiellen Ableitungen ist eine Eigenschaft besonders nützlich: stetige partielle Differenzierbarkeit.
Eine Funktion Eine solche Funktion wird eine
Stetig partiell differenzierbare Funktionen werden oft glatte Funktionen genannt. Je öfter eine Funktion stetig partiell differenzierbar ist, desto glatter ist sie.
Die Berechnung der höheren partiellen Ableitungen einer Funktion
Sie müssen bei einer glatten Funktion daher nicht jede höhere partielle Ableitung einzeln berechnen, sondern erhalten einige direkt durch Vertauschung der Differentiationsreihenfolge aus anderen partiellen Ableitungen. Ist zum Beispiel
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